【软考】动态规划之01背包问题

    最近学习软考，其中算法这遇到01背包问题，经过一番探索，终于通过资料来了解了一些，有了一些头绪，下面咱们一起看看学习下：


    首先解释下什么是01背包问题：给定一组共n个物品，每种物品都有自己的重量wi, i=1~n和价值vi, i=1~n，在限定的总重量（背包的容量C）内，如何选择才能使得选择物品的总价值之和最高。选择最优的物品子集放置于给定背中，最优子集对应n元解向量(x1,…xn), xi∈{0或1}（每种物品仅有一件，只有放或者不放这两种情况），因此命名为0-1背包问题。


     01背包问题具体例子：假设现有容量10kg的背包，另外有3个物品，分别为a，b，c,d,e。物品a重量为2kg，价值为6；物品b重量2kg，价值为3；物品c重量为6kg，价值为5,物品d重量为5kg，价值为4,物品e重量为4kg，价值为6。将哪些物品放入背包可使得背包中的总价值最大？


     欲求背包能够获得的总价值，即欲求前i个物体放入容量为m（kg）背包的最大价值c[i][m]——使用一个数组来存储最大价值，当m=10，i取3时，即原始问题了。而前i个物体放入容量为m（kg）的背包，又可以转化成前(i-1)个物体放入背包的问题。

 下面使用数学表达式描述它们两者之间的具体关系。


　　表达式中各个符号的具体含义。


　　w[i] :  第i个物体的重量；


　　p[i] : 第i个物体的价值；


　　c[i][m] ： 前i个物体放入容量为m的背包的最大价值；


　　c[i-1][m] ： 前i-1个物体放入容量为m的背包的最大价值；


　　c[i-1][m-w[i]] ： 前i-1个物体放入容量为m-w[i]的背包的最大价值；


　　由此可得：


　　　　　　c[i][m]=max{c[i-1][m-w[i]]+pi , c[i-1][m]}

    

    

    当您能通过找规律手工填写出上面这张表就算理解了01背包的动态规划算法。
首先要明确这张表是至底向上，从左到右生成的。

    具体了解一下图：用e1单元格表示e行1列的单元格，这个单元格的意义是用来表示只有物品e时，有个承重为1的背包，那么这个背包的最大价值是0，因为e物品的重量是4，背包装不了。依次类推--当背包承重为2时，a和b可以放进去一个，价值不同，但是c,d,e还是不能放，重量都超过了2！

    每一列中单元格中的数表示最大的总价值，自底向上只要能得到最大价值就改变相应的总价值。例如，背包承重为6的列，自底向上，重量依次4,5,6,2,2，但是价值在重量等于4时，最高为6，再向上有一个重量为2的价值是6，这样就要改变，改成4+2正好等于背包的承重量，因此价值变成12。

     

    对于承重为8的背包，a8=15,是怎么得出的呢？根据01背包的状态转换方程，需要考察两个值：

   一个是f[i-1,j],对于这个例子来说就是b8的值9，另一个是f[i-1,j-Wi]+Pi


    f[i-1,j]表示我有一个承重为8的背包，当只有物品b,c,d,e四件可选时，这个背包能装入的最大价值；

    f[i-1,j-Wi]表示我有一个承重为6的背包（等于当前背包承重减去物品a的重量），当只有物品b,c,d,e四件可选时，这个背包能装入的最大价值f[i-1,j-Wi]就是指单元格b6,值为9，Pi指的是a物品的价值，即6由于f[i-1,j-Wi]+Pi = 9 + 6 = 15 大于f[i-1,j] = 9，所以物品a应该放入承重为8的背包

   

     01背包的四种解法详解：动态规划，贪心法，回溯法，优先队列式分支限界法（C语言编写）

   01背包问题吐血详解