多视几何：齐次坐标

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齐次坐标是多视几何的一个最最基本的概念，非常重要，可以说，几乎所有内容都以此为基础！这里，记录一下齐次坐标的相关内容

注：有些为个人理解，如有不对，还望指出

1.为什么引入齐次坐标

实际上，齐次坐标就是对几何实体的一种表示形式，不同的教材对齐次坐标的引入方式是不同的，但目的是一致的，可以说，引入齐次坐标的主要目的是：

• 为了描述无穷远元素
• 可以使得变换的描述更加简洁，例如，可以将非线性变换用线性变换表示

下面分别描述几何实体–直线和点的齐次表示！

2.直线的齐次表示

考虑平面直线ax+by+c=0：

• 不同的a,b,c对应不同的直线，所以说，该直线可以用矢量(a,b,c)T表示；
• 另外，对于任何的非零常数k，直线kax+kby+kc=0和直线ax+by+c=0其实表示的是同一条直线；

所以，k(a,b,c)T是直线ax+by+c=0的齐次坐标，k是非零常数，并且，记直线的齐次坐标为l

3.点的齐次表示

考虑平面点(x,y)，它位于直线ax+by+c=0上，即有(x,y,1)(a,b,c)T=0；

• 这里的(x,y,1)T其实就是该平面点的一个齐次坐标
• 对于任何的非零常数k，有(kx,ky,k)(a,b,c)T=k(x,y,1)(a,b,c)T=0，

所以，k(x,y,1)T是平面点的齐次坐标，并且，记点的齐次坐标为x

注：有时，2D平面点的齐次坐标记为(x1,x2,x3)，那么，它对应的非齐次坐标其实为(x1x3,x2x3)

4.点在直线上的齐次表示

平面直线齐次坐标为l=(a,b,c)，点齐次坐标为(x1,x2,x3)，那么，点位于直线的充要条件为

xTl=lTx=0

5.两直线交点

直线l1和l2角点为x=l1×l2，其中，×表示叉乘