MVG读书笔记——齐次坐标与射影几何

几何学是图形学的基础。研究几何学则从最基本的点、线、面开始。这里我们从二维平面上的点开始，一步步研究图形学和计算机视觉中常用的几何知识。

欧氏几何

欧氏几何是最简单、最常用的几何框架。欧氏几何由五条公理进行推导，得到了一个完整的公理系统。

在欧氏几何中使用一个二元组（x,y）来表示二维平面上的一点。欧氏几何中平面上的点组成了欧氏空间，表示为IR2。

在欧氏几何中两条平行直线没有交点。

齐次坐标

由于欧氏几何中平行公理的存在，使得两条直线相交的问题需要分情况进行处理。即需要先判断两条直线是否平行。这在某些时候对我们的处理带来了不便。因此我们假设平行直线相交于无穷远处来统一两种情况。

这一假设虽然简化了直线相交的模型，却引入了一个特殊的无穷远点。为解决这个问题，我们引入了齐次坐标的概念来统一的表示平面上的点。

对平面上一点，齐次坐标使用一个三元组(kx,ky,k)进行表示。对任意k∈R,k≠0（kx,ky,k）表示同一点。而当k=0时，(x,y,0)表示无穷大的点。(0,0,0)不表示任何点。齐次坐标下平面上的所有点构成了射影空间IP2。

齐次坐标的作用将在后面加以阐述，它使得直线与点具有对偶性，并且可以在需要的时候使用统一的公式进行求交和求切线等各种操作。

射影几何

建立在IP2空间上的几何叫做射影几何。它是计算机视觉中用到的一套体系结构。后面会陆续介绍关于射影几何的知识，在这个过程中可以感受到它存在的意义和作用。