素数有无穷个的证明
来源:互联网 发布:js手机端日期选择插件 编辑:程序博客网 时间:2024/04/30 21:24
构造法:
1.欧几里得证法:
证:假设素数只有有限个,设为q1,q2,…qn,考虑设一个数 p=q1* q2 * … *qn + 1。显然,p 不能被q1, q2, … qn 整除。故存在两种情况:p 为素数,或 p 有除 q1, q2, … qn 以外的其它素因子。无论何种情况,都说明素数不止有限个。假设错误,所以素数有无穷多个。
2.
设p1,…,pn是n个两两不同的素数。再设Ar是其中任意取定的r个素数的乘积。证明:任一 pj (1 ≤ j ≤ n)都不能整除 p1 … pn / Ar + Ar ;
由此推出素数有无穷多个。
证:因为 pj 若不是 Ar 的因子,必然是 p1 … pn / Ar 的因子;或者,pj 若是 Ar 的因子,必然不是 p1 … pn / Ar 的因子。因此,p1 … pn / Ar + Ar或者是素数,或者除p1, … , pn之外有其它素因子。无论何种情况,都说明素数不止有限个。假设错误,所以素数有无穷多个。
3.级数法:
假若素数只有有限个p1,…,ps.证明:对任意正整数N必有
由此推出素数有无穷多个。
证:
(因为任意正整数都可以表示成素数或素数的乘积)
故上式成立。
因为级数 递增,趋于正无穷大,由上式
可知:素数有无穷多个。(否则,上式右侧为常值)
4.Fermat数法:
设n≥0,Fn= +1.再设m≠n.证明:若d > 1,且d|Fn,则d不整除Fm.由此推出素数有无穷多个。
证:设2m/2n=r,2n=p则
当m > n时,必有Fn| -1=( +1)(pr-1-pr-2+…-1)
=( +1) =( +1)q=Fm-2.
由条件可得:d|Fm-2,又d>1,且d|Fn,故d≥3.则d不整除Fm.
当m < n时,假设d|Fm,推出d不整除Fn.
由以上命题:假设di均为素数且ni递增,则
d1|Fn1→d1不整除Fn2;
d2|Fn2→d1,d2不整除Fn3;
……
由以上论证过程,可以证明素数有无穷多个。
5.
设A1=2,An+1=An2-An+1(n≥1).再设n≠m.证明:若d|An,d>1,d不整除Am.由此推出素数有无穷多个。
证:当m>n时必有An|Am-1.方法同上。
综上所述:以上证明可以分为两类:
第一类:1.2.3.同样用到了反证法,构造法。首先假设素数有有限个,通过构造数列,论证矛盾。
第二类:4.5.用到了构造法,直接证明法。通过构造数列,证明素数有无穷多个。
摘自 百度文库, 作者不明。
原谅图片丑吧……建议去百度文库下载, 如果没有失效的话。
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