如何证明素数有无穷多个

如何证明素数有无穷多个呢？和勾股定理一样，有很多证明方法，也是异彩纷呈。好多证明方法都是神证明（经典证明：素数无穷多的拓扑学证明）。有一本书叫做Proofs from THE BOOK ，中文译名来自圣经的证明 ，这本书就是专门搜集这些神证明的。显然BOOK 在英文中就指圣经。不过，个人觉得翻译成来自天书的证明 更恰当些。在中国古典小说中，天书就相当于现代武侠小说中的秘笈，一个人一旦得了天书，就立刻一跃成为神一样的人物。或者翻译成证明宝典 也不错。

扯远了。什么是素数呢？素数就是 只能被1和它本身整除的数 。早在初中的时候我们就学过定义（或许是小学？），但我还是不理解什么是素数。直到有一天看到了某大牛（matrix67？）的博客才恍然大悟：素数就是组成数的基本元素，别的其他任何数都是若干个素数的积（所以合数才叫合数，因为是由别的数合成的）。这种理解类似于化学中的单素和化合物。当时看到这里脑袋里大概灵光一闪，快感如泥石流一般袭来。恨当年，为什么没人告诉我这一点呢？（或许有人告诉过我，而我没在意？）

又跑题了……素数有无穷多个，如何证明之呢？我曾经看过一个精彩的证明，刚刚搜了一下才发现这个证明竟然是由 欧几里得 （Euclid） 在两千多年前作出的。

注：之前的证明是错误的，我重新写一下证明。误人子弟，真是惭愧。感谢 jackgstar

证明：

1. 假设素数不是有无穷多个。

2. 所以素数的个数有限。我们因此可以找出所有素数。

3. 将所有素数乘起来，然后加上1。

4. 所得的结果这个数很神奇，神奇的地方在于，它除以任何素数都余1。也就说，这个数除以所有的素数都除不尽。

5. 因此这个数是个素数。而且很明显，这个数大于最大的素数（之前假定的最大素数）。

6. 我们惊奇的发现我们找到了比“最大的素数”还要大的素数。

7. 由此发现矛盾。故原假设错误，由此得证。

之前的错误的证明：

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这个证明是这样的：

1. 假设素数不是有无穷多个。

2. 所以素数的个数有限。我们因此可以选择出最大的素数。

3. 选择其中最大的素数p。

4. 考虑这个数：p!+1 。这个数很神奇，神奇的地方在于，它除以任何小于它自己的数都余1。

5. 因此 p!+1 是个素数。

6. 我们惊奇的发现此数大于所谓最大的素数 p ，并且还是个素数。

7. 由此发现矛盾。故原假设错误，由此得证。

n! 还可以用来证明 素数之间的间隔可以任意大 （即：对任意大的 n ，都可以找到两个素数 p1 p2 使得 p2-p1>n ）。

证明如下：

1. 引理：n!+a, (1<a<n)是合数。注意到，对任意a，其中(1<a<n)都可以整除n!+a。（因为n!+a = ((n!/a) * a)+a = ((n!/a)+1) * a，从这个形式可以看出a整除它）

2. 则对于一个自然数序列n!+2, n!+3, n!+4, ... , n!+(n-1)，它们都是合数。故命题得证。

其实 n! 还可以引出另外一个话题：指数级增长和阶乘级增长哪个快？ 我们都知道是阶乘更快。梅森素数是指形如 2ⁿ-1 的素数，这种形式的数不全是素数，只是有一定概率是素数。而n!+1 一定是素数。但因为它的增长实在太快了，所以计算机找大素数的时候，都是奔着梅森素数去的。