动态规划系列问题－最长公共子串

最长公共子串（Longest Common Substring）

题目描述：

给定两个字符串str1和str2，返回两个字符串的最长公共子串的长度。

分析：

用二维数组dp[][]来保存动态规划表，假设str1长度为m，str2长度为n，则dp[][]大小为m*n；

dp[i][j]表示把str1[i]和str2[j]当成最长公共子串最后一个字符的情况下，最长公共子串能有多长（即以str1[i]和str2[j]结尾的最长公共子串长度）。

如何生成dp[][]:

1.求矩阵第一行dp[0][j]

如果str1[0]=str2[j]，则dp[0][j]=1，否则为0；

2.求矩阵第一列dp[i][0]

如果str1[i]=str2[0]，则dp[i][0]=1，否则为0；

3.求普通dp[i][j]

如果str1[i]=str2[j]，则dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1；否则为0；

根据dp[][]求最长公共子串及其长度：

遍历一遍dp[][]找出最大值即为最长公共子串长度，得到dp[][]最大值dp[i][j]，则最长公共子串以str1[i]或者str2[j]结尾，往前数dp[i][j]个字符即可。假设结尾字符位置是end，长度为len，则java中子串为str1.substring(end-len+1,end+1)。

算法时间复杂度为O(MN)，空间复杂度为O(MN)。

public class LongestSubstring {    public int findLongest(String A, int n, String B, int m) {        if(A==null||n==0||B==null||m==0)            return 0;        char[] cha=A.toCharArray();        char[] chb=B.toCharArray();        int[][] dp=new int[n][m];        int max=0;     //记录最长公子串长度        for(int i=0;i<m;++i){            if(cha[0]==chb[i]){                dp[0][i]=1;                max=1;            }        }        for(int i=0;i<n;++i){            if(chb[0]==cha[i]){                dp[i][0]=1;                max=1;            }        }        for(int i=1;i<n;++i){            for(int j=1;j<m;++j){                if(cha[i]==chb[j]){                    dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;                }                if(dp[i][j]>max){                    max=dp[i][j];                }            }        }        return max;    }}

优化：

通过上面的方法，可以发现在求dp[i][j]过程中，其实最多只用到dp[i-1][j-1]。所以可以按照如图所示的斜线方向（从上到下，从右到左）来计算dp[][]，只用一个变量保存过程中最大值即可。

算法时间复杂度为O(MN)，空间复杂度为O(1)。

public class LongestSubstring {    public int findLongest(String A, int n, String B, int m) {        if(A==null||n==0||B==null||m==0)            return 0;        int row=0;    //当前斜线开始的行位置        int col=m-1;  //当前斜线开始的列位置        int max=0;          while(row<n){            int i=row;            int j=col;            int len=0;            //计算当前斜线            while(i<n&&j<m){                if(A.charAt(i)==B.charAt(j)){                    ++len;                }                else{                    len=0;                }                //记录最大值，如果需要记录位置则再添加一个变量ends                if(len>max){                    max=len;                }                ++i;++j;            }            //斜线开始位置的列先从右到左移动            if(col>0){                --col;            }            //行：从上到下            else{                ++row;            }        }        return max;    }}