题目1025：最大报销额(01背包问题)

来源：互联网发布：mac 查看文件的路径编辑：程序博客网时间：2024/06/04 19:09

题目描述：
    现有一笔经费可以报销一定额度的发票。允许报销的发票类型包括买图书（A类）、文具（B类）、差旅（C类），要求每张发票的总额不得超过1000元，每张发票上，单项物品的价值不得超过600元。现请你编写程序，在给出的一堆发票中找出可以报销的、不超过给定额度的最大报销额。
输入：
    测试输入包含若干测试用例。每个测试用例的第1行包含两个正数 Q 和 N，其中 Q 是给定的报销额度，N（N<=30）是发票张数。随后是 N 行输入，每行的格式为：
    m Type_1:price_1 Type_2:price_2 ... Type_m:price_m
    其中正整数 m 是这张发票上所开物品的件数，Type_i 和 price_i 是第 i 项物品的种类和价值。物品种类用一个大写英文字母表示。当N为0时，全部输入结束，相应的结果不要输出。
输出：
    对每个测试用例输出1行，即可以报销的最大数额，精确到小数点后2位。
样例输入：
200.00 32 A:23.50 B:100.001 C:650.003 A:59.99 A:120.00 X:10.001200.00 22 B:600.00 A:400.001 C:200.501200.50 32 B:600.00 A:400.001 C:200.501 A:100.00100.00 0
样例输出：
123.501000.001200.50
笔记：这个题目考察的是01背包问题，用到的算法思想是动态规划。我在得出能够报销的发票数组后，我刚开始想到的是用贪心，后来发现，此类非连续性的问题不能用贪心。比如最大报销额是1000，发票的金额为600、500、500。用贪心的思路：先报销最大的600，再在剩下的发条中继续找能够报销的最大的，由于一张发票只能选择报或不报，所以得出最大报销额为600，其实这是错误的。选择500 + 500的方法可以获得1000的报销额，而对于这种非连续形的求最大价值的问题，就需要动态规划来解题了。
01背包问题：一个背包总容量为V，现在有N个物品，第i个物品体积为w(i)，价值为v(i)，现在往背包里面装东西，怎么装能使背包的内物品价值最大？
关于这种问题用动态规划有一个解题的关键思路：
f[i][j] = max{ f[i-1][j] , f[i-1][j-w(i)] +v(i)}
f[i][j]表示背包容量为j时放入i件物品的最大价值，这个最大价值为：
Max {背包容量为 j 放入前i-1件物品时的最大价值，背包容量为 j- w(i)时放入前i-1件物品的最大价值加上第i件物品的价值 }
方便理解，自己敲了一遍如下代码：
#include<iostream> using namespace std; #define V 1500 unsigned int f[10][V];//全局变量，自动初始化为0 unsigned int weight[10]; unsigned int value[10]; #define max(x,y) (x)>(y)?(x):(y) int main() { int N,M; cin>>N;//物品个数 cin>>M;//背包容量 for (int i=1;i<=N; i++) { cin>>weight[i]>>value[i]; } for (int i=1; i<=N; i++) for (int j=1; j<=M; j++) { if (weight[i]<=j) { f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-weight[i]]+value[i]); } else f[i][j]=f[i-1][j]; } cout<<f[N][M]<<endl;//输出最优解 }

这个公式去计算最大价值的时候会占用很大的内存空间，因为在计算发f[i][j]时只用到了f[i-1][0......j]的数据，即计算第i行（加入第i个物品时）只用i-1行的数据，因此这个二维数据只需要用一维数组表示就行，进一步得出下面的公式：
f[j] = max{ f[j] , f[j-w(i)+v(i) }
上面的代码就改下了下面这样：
#include<iostream> using namespace std; #define V 1500 unsigned int f[V];//全局变量，自动初始化为0 unsigned int weight[10]; unsigned int value[10]; #define max(x,y) (x)>(y)?(x):(y) int main() { int N,M; cin>>N;//物品个数 cin>>M;//背包容量 for (int i=1;i<=N; i++) { cin>>weight[i]>>value[i]; } for (int i=1; i<=N; i++) for (int j=M; j>=1; j--) { if (weight[i]<=j) { f[j]=max(f[j],f[j-weight[i]]+value[i]); } } cout<<f[M]<<endl;//输出最优解 }
我的AC代码：
#include<stdio.h>#include<string.h>#include<algorithm>using namespace std;int f[3001000];int max(int a,int b){if(a > b)return a;elsereturn b;}int main(){int N,i,j,t,m;int flag;double Q;int q;int Pay[30];while(scanf("%lf%d",&Q,&N)!=EOF){q = (int)(Q*100);t =1;memset(Pay,0,sizeof(Pay));memset(f,0,sizeof(f));if(N == 0)break;while(N--){int a,b,c;a = b = c = 0;flag = 1;scanf("%d",&m);for(i = 1; i <= m; i++){char str[100];char type;double price;int pri;scanf("%s",str);sscanf(str,"%c:%lf",&type,&price);pri = (int)(price * 100);if(type == 'A'){a += pri;}else if(type == 'B'){b += pri;}else if(type == 'C'){c += pri;}else{flag = 0;} if(a + b + c > 100000 || a > 60000 || b > 60000 || c > 60000){flag = 0;}}if(flag){Pay[t++] = a+b+c;}}for(i = 1;i < t; i++){for(j = q;j >= 1;j--){if(Pay[i] <= j)f[j] = max(f[j],f[j-Pay[i]]+Pay[i]);}}printf("%.2lf\n",f[q]/100.00);}return 0;}
注：这个题目因为最大价值（最大报销额）为实型，因为用动态规划时，数组里要求为int型，题目要求精确到小数点后2位，所以，我们可以将所有金额乘以100，将所有金额转为int型，最后得出的结果再除以100.00即可。
如果你看不懂可以去看这个博客：http://blog.csdn.net/kangroger/article/details/38864689

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