删边最小生成树

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题目描述

给定一个n个点m条边的无向图，求删除某条之后的最小生成树。

输入

第一行两个整数n和m。
接下来m行，每行3个整数a、b、c
表示有条边连接编号为a和b的节点。

输出

输出m行，每行一个整数。
表示如果第i条删除，最小生成树的大小，如果最小生成树不存在，输出-1。

样例输入

5 5
1 2 1
2 3 2
1 4 3
2 4 5
4 5 4

样例输出

14
-1
12
10
-1

提示

30%的数据，n的范围[1,100],m的范围[1,1000];
50%的数据，n的范围[1,300],m的范围[1,3000];
80%的数据，n的范围[1,5000],m的范围[1,50000];
100%的数据，n的范围[1,50000],m的范围[1,200000],边权范围[1,40000];

暴力枚举

int find(int x){    if(x==par[x])return x;    return par[x]=find(par[x]);}void check(int x){    int res=n,sum=0;    for(int i=1;i<=n;i++)par[i]=i;    for(int i=1;i<=m&&res!=1;i++){        if(i==x)continue;        a=s[i].a,c=s[i].c,b=s[i].b;        fa=find(a),fb=find(b);        if(fa==fb)continue;        par[fa]=fb;sum+=c;res--;    }ans[s[x].id]=res==1?sum:-1;}void solve(){       sort(s+1,s+1+m,cmp);    for(int i=1;i<=m;i++){        if(!mark[s[i].id])ans[s[i].id]=pro_sum;        else check(i);    }}

思路

对于树而言它是无环的

如果加上一条边nw它就形成了一个环
对于环上的任意的一条边删去其中之一它仍为树

即nw可以代替该环上的任意边
那么对于最小生成树而言删去它的代价即为val[x]-val[nw];
所以删可以更新环上任意一条边的答案
显然加入的边要从小到大同时有答案的边无需更新

首先生成最小生成树

void made(){    sort(E+1,E+1+m,cmp);    int res=n,a,b,c,id,fa,fb;    for(int i=1;i<=m&&res!=1;i++){        a=E[i].a;b=E[i].b;        c=E[i].c;id=E[i].id;        fa=find(a);fb=find(b);        if(fa==fb)continue;        G[a].push_back((P){b,c,id});        G[b].push_back((P){a,c,id});        //生成最小生成树        sum+=c;res--;        par[fa]=fb;mark[id]=1;    }d[1]=1;    dfs(1);}

那么如何遍历环呢?;
先预处理出所以的节点的父节点以及其对应的边的边号和代价

void dfs(int x){    for(int i=0;i<G[x].size();i++){        to=G[x][i].t;c=G[x][i].c;id=G[x][i].id;        if(!d[to]){            d[to]=d[x]+1;            f[to]=x;dfs(to);            td[to]=id;tc[to]=c;//记录该节点对应的边的id和c        }    }}

从a,b节点来向上更新每一条边到LCA

void update(int a,int b){    if(d[a]>d[b])swap(a,b);    while(d[a]<d[b]){        id=td[b];c=tc[b];//从节点获取对应的边的id和c        if(!use[id])ans[id]=sum-c+cost,use[id]=1;        b=f[b];    }while(a!=b){        //一直遍历到LCA(a,b);        id=td[b];c=tc[b];        if(!use[id])ans[id]=sum-c+cost,use[id]=1;        b=f[b];        id=td[a];c=tc[a];        if(!use[id])ans[id]=sum-c+cost,use[id]=1;        a=f[a];    }}

void solve(){    for(int i=1;i<=m;i++)    if(!mark[E[i].id]){        a=E[i].a;b=E[i].b;c=E[i].c;        cost=c;update(a,b);    }for(int i=1;i<=m;i++){        if(!mark[i])printf("%d\n",sum);        else printf("%d\n",ans[i]);    }return 0;}

综上;

#include<stdio.h>#include<algorithm>#include<vector>#include<string.h>using namespace std;const int M=50005;struct node{int a,b,c,id;}E[M*4];struct P{int t,c,id;};bool cmp(node x,node y){return x.c<y.c;}vector<P>G[M];int par[M],f[M],n,m,sum,d[M];int td[M],tc[M],cost,ans[4*M];bool mark[4*M],use[4*M];int find(int x){    if(x==par[x])return x;    return par[x]=find(par[x]);}void dfs(int x){    int to,c,id;    for(int i=0;i<G[x].size();i++){        to=G[x][i].t;        c=G[x][i].c;        id=G[x][i].id;        if(!d[to]){            d[to]=d[x]+1;            td[to]=id;tc[to]=c;            f[to]=x;            dfs(to);        }    }}void update(int a,int b){    int id,c;    if(d[a]>d[b])swap(a,b);    while(d[a]<d[b]){        id=td[b];c=tc[b];        if(!use[id])ans[id]=sum-c+cost,use[id]=1;        b=f[b];    }while(a!=b){        id=td[b];c=tc[b];        if(!use[id])ans[id]=sum-c+cost,use[id]=1;        b=f[b];        id=td[a];c=tc[a];        if(!use[id])ans[id]=sum-c+cost,use[id]=1;        a=f[a];    }}void made(){    sort(E+1,E+1+m,cmp);    int res=n,a,b,c,id,fa,fb;    for(int i=1;i<=m&&res!=1;i++){        a=E[i].a;b=E[i].b;        c=E[i].c;id=E[i].id;        fa=find(a);fb=find(b);        if(fa==fb)continue;        G[a].push_back((P){b,c,id});        G[b].push_back((P){a,c,id});        sum+=c;res--;        par[fa]=fb;mark[id]=1;    }d[1]=1;    dfs(1);}int main(){    int a,b,c,id;    memset(ans,-1,sizeof(ans));    scanf("%d%d",&n,&m);    for(int i=1;i<=m;i++){        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);           E[i]=(node){a,b,c,i};    }    for(int i=1;i<=n;i++)par[i]=i;    made();    for(int i=1;i<=m;i++)    if(!mark[E[i].id]){        a=E[i].a;b=E[i].b;c=E[i].c;        cost=c;update(a,b);    }for(int i=1;i<=m;i++){        if(!mark[i])printf("%d\n",sum);        else printf("%d\n",ans[i]);    }return 0;}