POJ 1784/EOJ 1447 Huffman's Greed 动态规划

本题给出了关键字k1,k2....kn并且k1<k2<....<kn，还给出了他们会被搜索的概率p1,p2....pn。如果要搜索的关键字不在这里面的话怎么办呢？我们设置了一些虚拟键，如果一个字不属于这些关键字中，那么最终就会搜索到这些虚拟键上来。题目要求搜索的期望最小，也就是我们要如何才能构造出一颗最优的二叉搜索树。最开始的想法是把那些被搜索概率最大的关键字放在离根节点最近的地方。但是如果我们要搜索的东西能够在搜索树中搜索到，这样想是对的。但是我们想想一种极端情况，我们要搜索的所有东西在搜索树种都搜索不到，只能最后搜索到虚拟键。那么按照我们刚才想的思路，把搜索概率最大的关键字放在离根节点最近的地方，这样又有什么用呢？反正我们又搜索不到那些关键字，所以对于这种情况，我们要使搜到虚拟键的期望值最小。也就是说我们刚才的想法是不全面的。这道题可以用动态规划的思路来解决。

假如用e(i,j)表示ki,ki+1,ki+2...这几个关键字构成的最优搜索树的代价。这个状态可以怎么转移呢？现在我们有多种决策，即选择ki...kj中的哪一个作为最优搜索树的根节点。

那么再来思考一个问题，当一个二叉搜索树作为一个根节点的子树时，它的代价会怎么变？显然树上每一个节点的深度都会加1，所以代价就会增加pi+...pj  +  qi-1+...qj。用w(i,j)来代替pi+...pj  +  qi-1+...qj。

那么e(i,j) = min(e(i,j), e(i,r-1)+w(i,r-1)+e(r+1,j)+w(r+1,j)+pr)

注意到w(i,r-1) + w(r+1,j) + pr = w(i,j)

所以e(i,j) = min(e(i,j), e(i,r-1)+e(r+1,j)+w(i,j))

我们怎么计算w(i,j)呢，难道每一次都从头开始计算吗？不用，注意到 w(i,j) = w(i,j-1)+pj+qj。所以我们可以通过w(i,j-1)的答案来快速算出。具体代码如下:

#include <algorithm>#include <iostream>#include <iterator>#include <sstream>#include <fstream>#include <istream>#include <ostream>#include <complex>#include <cstring>#include <utility>#include <cstdlib>#include <cstdio>#include <vector>#include <string>#include <cctype>#include <ctime>#include <cmath>#include <queue>#include <stack>#include <list>#include <new>#include <set>#include <map> using namespace std;  const int maxn = 300;const int INF = 0x3f3f3f3f; int main(){     //freopen("1.txt", "r", stdin);    int n, p[maxn], q[maxn], w[maxn][maxn], e[maxn][maxn];    while (scanf("%d", &n), n)    {        for (int i=1; i<=n; i++)            scanf("%d", &p[i]);        for (int i=0; i<n+1; i++)            scanf("%d", &q[i]);        for (int i=1; i<=n+1; i++)        {            e[i][i - 1] = 0;            w[i][i - 1] = q[i - 1];        }        for (int l=1; l<=n; l++)            for (int i=1; i<=n-l+1; i++)            {                int j = i + l - 1;                e[i][j] = INF;                w[i][j] = w[i][j - 1] + p[j] + q[j];                for (int r=i; r<=j; r++)                {                    int t=e[i][r - 1] + e[r + 1][j] + w[i][j];                    if (t < e[i][j])                        e[i][j] = t;                }            }        printf("%d\n", e[1][n]);    }    return 0;}