hdu 2588(欧拉函数）

来源：互联网发布：知乎药丸编辑：程序博客网时间：2024/06/04 20:04

GCD

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Problem Description

The greatest common divisor GCD(a,b) of two positive integers a and b,sometimes written (a,b),is the largest divisor common to a and b,For example,(1,2)=1,(12,18)=6.
(a,b) can be easily found by the Euclidean algorithm. Now Carp is considering a little more difficult problem:
Given integers N and M, how many integer X satisfies 1<=X<=N and (X,N)>=M.

Input

The first line of input is an integer T(T<=100) representing the number of test cases. The following T lines each contains two numbers N and M (2<=N<=1000000000, 1<=M<=N), representing a test case.

Output

For each test case,output the answer on a single line.

Sample Input

31 110 210000 72

Sample Output

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首先，对于这题我一开始的思路就有错，后来一看题目中提到欧拉函数才知道这道题一定跟欧拉函数有关。

可是欧拉函数只能求x<=n ,(x,n)=1的x符合条件的个数，而本题是求出(x,n)>=m的个数。

怎么才能把题目要求的转换为求(x,n)=1的个数呢

我们先设整数a,n a<=n并且(a,n)=d; 根据最大公因数性质可得到(a/d,n/d)=1,我们令q=a/d,因为a<=n, 所以 0<a/d<=n/d;即0<q<=n/d;(所以我们求出有多少个q符合 (q,n/d)=1就是我们求出有多少个a符合(a,n)=d的个数)这是求本题的关键。这个个数用欧拉函数φ(n/d)就可以得出。接下来我们只要找出n的因子>=m就可以得到本题的答案。

但是从1枚举到n找出因子会超时，那怎么办呢？

我们可以看一下设a,b都是n的因子且a*b=n,a<=b当我们枚举到a的时候因子b可以由 n/a得到，所以我们只需枚举1到sqrt(n)就能得出n所有的因子了。接下来只需判断因子是否>=m就可以了。还需要注意 φ(n/d)求的是与n/d互素的个数所以这里的每个与n/d互素的整数x都小于n/d，所以x＊d<n,没有算n本身，在最后加一就可以了。

代码如下：

#include <iostream>#include <cstdio>using namespace std;typedef long long  ll;ll phi(ll n){    ll i,rea=n;    for(i=2;i*i<=n;++i)    {        if(n%i==0)        {            rea=rea-rea/i;            while(n%i==0)                n/=i;        }    }    if(n>1)        rea=rea-rea/n;    return rea;}int main(int argc, const char * argv[]){    ll m,n;    int t;    cin>>t;    while(t--)    {        scanf("%lld%lld",&n,&m);        if(m==1)        {            cout<<n<<endl;            continue;        }        ll ans=0;        for(ll i=2;i*i<=n;++i)        {            if(n%i==0)            {                if(i>=m)                {                    ll k=phi(n/i);                    ans+=k;                }                if(n/i!=i&&n/i>=m)                {                    ll k=phi(i);                    ans+=k;                }            }        }        cout<<ans+1<<endl;    }    return 0;}

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