Dijkstra算法（无负权值）

预备知识：边的松弛和顶点松弛，主要用于最短路径计算，所以默认有一个源节点（计算最短路径的起始节点），权重用距离表示

边的松弛：

private void relax(DirectedEdge e) {int v = e.from(), w = e.to();if (distTo[w] > distTo[v] + e.weight()) {distTo[w] = distTo[v] + e.weight();edgeTo[w] = e;}}

如果：源节点到w的距离>源节点到v的距离+边e的权重

那么更新w节点的信息：将边e指向w，源节点到w的权重是源节点到v的权重加边e的权重

顶点松弛:

private void relax(EdgeWeightedDigraph G, int v) {for (DirectedEdge e : G.adj(v)) {int w = e.to();if (distTo[w] > distTo[v] + e.weight()) {distTo[w] = distTo[v] + e.weight();edgeTo[w] = e;}}

}

给出一个节点v，遍历和v相连接的边e，w是e指向的另一个节点。和上面的边的松弛一样，如果源节点到w的距离大于源节点到v+边e的权重，那么更新w的信息，更新方法和上面一样。

可以说顶点松弛是边的松弛的“加强版”。顶点松弛相当于给出一个特定的顶点，对这个顶点的所有边进行松弛。

Dijkstra算法（不考虑负权值）

public DijkstraSP(EdgeWeightedDigraph G, int s) {edgeTo = new DirectedEdge[G.V()];distTo = new double[G.V()];pq = new IndexMinPQ<Double>(G.V());for (int v = 0; v < G.V(); v++)distTo[v] = Double.POSITIVE_INFINITY;distTo[s] = 0.0;pq.insert(s, 0.0);while (!pq.isEmpty())relax(G, pq.delMin());}

解释一下每个参数：

edgeTo：图每一个有向边

distTo： 图的每一条边的权重

pq：存放边的权重的索引优先队列，权重最低的优先级的元素先被访问，用来访问权重最小的节点

从程序很容易看出，这种不考虑负权值的算法不断放松权值最小的顶点，最后会生成一个最短路径树

以下图为例，放松0节点后获得2节点和4节点，两个节点都有指向7节点。接下来放松2节点，直接获得2->7这条路径。再放松4节点，获得4->7和4->5两条路径。由于0到4的权重加上4到7节点的权重要大于0-2-7这条路径的权重，所以舍弃4-7这一条路径，暂时保留4-5这条路径。在放松7节点的时候可以知道，0-4-5这条路径的权重小于（0-7的权重）+（7-5）的权重，所以舍去7-5这条路径。以此类推。

证明：假设v是顶点可达的，那么所有从v到w的路径都只会被放松一次。distTo[w]只会变小，不会变大，而distTo[v](v已经被加入了最短路径树)不会变。因此，当一个节点被加入树时，从源起点到达这个节点的路径一定是最短的。当所有可达节点都被加入树后，最短路径的最优性条件成立。

注意：这种算法和加权无向图的最小生成树Prim算法有类似的地方，Prim是每次把距离树最近的节点加入树中。

图摘自官网：

这是算法运行结束后的树

再附一张邻接表的结构：