NOIP 2015 T3 普及组 求和 公式分解+线扫

描述

一条狭长的纸带被均匀划分出了 n 个格子，格子编号从 1 到 n。每个格子上都染了一种颜色coloricolori（用[1，m]当中的一个整数表示），并且写了一个数字numberinumberi。

定义一种特殊的三元组：(x, y, z)，其中 x，y，z 都代表纸带上格子的编号，这里的三元组要求满足以下两个条件：

1. x, y, z都是整数, x < y < z, y − x =  z − y
2. colorxcolorx = colorzcolorz

满足上述条件的三元组的分数规定为(x + z) ∗ (numberxnumberx + numberznumberz)。整个纸带的分数规定为所有满足条件的三元组的分数的和。这个分数可能会很大，你只要输出整个纸带的分数除以 10,007 所得的余数即可。

格式

输入格式

第一行是用一个空格隔开的两个正整数 n 和 m，n 代表纸带上格子的个数，m 代表纸带上 颜色的种类数。

第二行有 n 个用空格隔开的正整数，第 i 个数字numberinumberi代表纸带上编号为 i 的格子上面写的数字。

第三行有 n 个用空格隔开的正整数，第 i 个数字coloricolori代表纸带上编号为 i 的格子染的颜色。

输出格式

共一行，一个整数，表示所求的纸带分数除以 10,007 所得的余数。

样例1

样例输入1[复制]

6 25 5 3 2 2 22 2 1 1 2 1

样例输出1[复制]

82

样例2

样例输入2[复制]

15 45 10 8 2 2 2 9 9 7 7 5 6 4 2 42 2 3 3 4 3 3 2 4 4 4 4 1 1 1

样例输出2[复制]

1388

限制

对于第 1 组至第 2 组数据，1 ≤ n ≤ 100, 1 ≤ m ≤ 5； 对于第 3 组至第 4 组数据，1 ≤ n ≤ 3000, 1 ≤ m ≤ 100；

对于第 5 组至第 6 组数据，1 ≤ n ≤ 100000, 1 ≤ m ≤ 100000，且不存在出现次数超过 20 的颜色；

对于全部 10 组数据， 1 ≤ n ≤ 100000, 1 ≤ m ≤ 100000, 1 ≤ coloricolori ≤ m, 1  ≤ numberinumberi ≤ 100000。

提示

【输入输出样例 1 说明】

纸带如题目描述中的图所示。

所有满足条件的三元组为：(1, 3, 5), (4, 5, 6)。

所以纸带的分数为(1 + 5) ∗ (5 + 2) + (4 + 6) ∗ (2 + 2) = 42 + 40 = 82。

 

表示题目好不容易才在vijos上粘贴下来。。汗。。。

本人普及菜鸟，去年这题只拿了60.。当时还是太嫩

现在写个题解供后人分析

首先要求满足x-y=y-z，也就是2*y=x+z，可以发现，对于x，y，z中两个任意元素，可以马上确定另一个。

但是y的确定又比较难来，所以从x和z入手。可以发现2*y必定是偶数，也就是x+z必定是偶数。

奇数+奇数=偶数

偶数+偶数=偶数

所以对于不同奇偶性编号的元素，存入不同的数组里，然后分开处理。

再看，分开后已经满足x-y=y-z了，那么剩下的就是不同颜色的处理。同种颜色、同奇或同偶的任意一组元素，必定能够和另外某元素（这个元素不必研究）构成符合的三元组。颜色如何处理？排个序就OK了。

如果四个满足的数a,b,c,d，分值为pa，pb，pc，pd。那么设答案为an，有如下：

an=(a+b)*(pa+pb)+(a+c)*(pa+pc)+……+(c+d)*(pc+pd)

乘开来，不然没法优化。

an=pa*(3*a+b+c+d)+pb*(3*b+a+c+d)+...+pd*(3*d+a+b+c)

=2*a*pa+2*b*pb+...+2*d*pd+(a+b+c+d)*(pa+pb+pc+pd)

=2*(a*pa+b*pb+c*pc+d*pd)+(a+b+c+d)*(pa+pb+pc+pd)

显然，更多的数n个均为同一颜色，编号为Qi，数字为Pi，那么

an=T*(Q1*P1+Q2*P2+...+Qn*Pn)+(Q1+Q2+...+Qn)*(P1+P2+...+Pn)

把每个an累计起来就可以了。

显然如何快速计算其中的表达式，前缀和什么都全部都可以！

最后就是开个int64.

其中有一个常数T需要计算。具体计算方式不说了，看程序。

（有点UGLY，方法麻烦大牛勿喷）

 

var n,m,i,odd,nodd,past,pi,ans:longint;
    color,color1,num,num1,id,id1:array[0..100001] of int64;
    tcolor,tnum:array[0..100001] of longint;
    sumcj,sumcj1,sumh,sumh1,sumnum,sumnum1:array[0..100001] of int64;
procedure swap(var a,b:int64);
var t:int64;
begin
  t:=a; a:=b; b:=t;
end;
procedure qsort(l,r:longint);
var i,j:longint;
    mid:int64;
begin
  i:=l; j:=r;
  mid:=color[(l+r) div 2];
  repeat
    while color[i]<mid do inc(i);
    while color[j]>mid do dec(j);
    if i<=j then
    begin
      swap(color[i],color[j]);
      swap(id[i],id[j]);
      swap(num[i],num[j]);
      inc(i); dec(j);
    end;
  until i>j;
  if i<r then qsort(i,r);
  if l<j then qsort(l,j);
end;
procedure qsort1(l,r:longint);
var i,j:longint;
    mid:int64;
begin
  i:=l; j:=r;
  mid:=color1[(l+r) div 2];
  repeat
    while color1[i]<mid do inc(i);
    while color1[j]>mid do dec(j);
    if i<=j then
    begin
      swap(color1[i],color1[j]);
      swap(id1[i],id1[j]);
      swap(num1[i],num1[j]);
      inc(i); dec(j);
    end;
  until i>j;
  if i<r then qsort1(i,r);
  if l<j then qsort1(l,j);
end;   //使同一种颜色在一起
begin
  readln(n,m);
  for i:=1 to n do
    read(tnum[i]);
  for i:=1 to n do
    read(tcolor[i]);
  for i:=1 to n do
    if i mod 2=0 then
    begin
      inc(nodd);
      num[nodd]:=tnum[i];
      color[nodd]:=tcolor[i];
      id[nodd]:=i;
    end else
    begin
      inc(odd);
      num1[odd]:=tnum[i];
      color1[odd]:=tcolor[i];
      id1[odd]:=i;
    end;   //分奇数、偶数分开存储
  qsort(1,nodd); qsort1(1,odd);
  for i:=1 to nodd do
  begin
    sumcj[i]:=sumcj[i-1]+id[i]*num[i];
    sumh[i]:=sumh[i-1]+id[i];
    sumnum[i]:=sumnum[i-1]+num[i];
  end;
  for i:=1 to odd do
  begin
    sumcj1[i]:=sumcj1[i-1]+id1[i]*num1[i];  //乘积
    sumh1[i]:=sumh1[i-1]+id1[i];   //编号
    sumnum1[i]:=sumnum1[i-1]+num1[i];   //数字
  end;    //用了个片段和。。
  past:=color[1];
  pi:=0;
  for i:=2 to nodd+1 do
    if color[i]<>past then
    begin
      ans:=(ans+(sumcj[i-1]-sumcj[pi])*(i-1-pi-2) mod 10007+(sumh[i-1]-sumh[pi])*(sumnum[i-1]-sumnum[pi]) mod 10007) mod 10007;   //公式，代进去就行了
      pi:=i-1;                         //pi是用来判断长度的，同种颜色的数目，以方便常数T的计算
      past:=color[i];
    end;      
  past:=color[1];
  pi:=0;
  for i:=2 to odd+1 do
    if color1[i]<>past then
    begin
      if i-pi-1>1 then
        ans:=(ans+(sumcj1[i-1]-sumcj1[pi])*(i-1-pi-2) mod 10007+(sumh1[i-1]-sumh1[pi])*(sumnum1[i-1]-sumnum1[pi]) mod 10007) mod 10007;
      pi:=i-1;
      past:=color1[i];
    end;
  writeln(ans);
end.