巧克力棒

题目描述：
LYK 找到了一根巧克力棒，但是这根巧克力棒太长了， LYK 无法一口吞进去。
具体地，这根巧克力棒长为 n，它想将这根巧克力棒折成 n 段长为 1 的巧克力棒，然后慢慢享用。
它打算每次将一根长为 k 的巧克力棒折成两段长为 a 和 b 的巧克力棒，此时若 a=b，则LYK 觉得它完成了一件非常困难的事，并会得到 1 点成就感。
LYK 想知道一根长度为 n 的巧克力棒能使它得到最多几点成就感。
输入格式：
第一行一个数 n。
输出格式：
一个数表示答案。
输入样例：
7
输出样例：
4
数据范围：
对于 20%的数据 n<=5。
对于 50%的数据 n<=20。
对于 80%的数据 n<=2000。
对于 100%的数据 n<=1000000000。
样例解释：
将 7 掰成 3+4，将 3 掰成 1+2，将 4 掰成 2+2 获得 1 点成就感，将剩下的所有 2 掰成 1+1
获得 3 点成就感。总共 4 点成就感。
思路：
发现ans=n-c(n)。c(n)表示n的二进制中1的个数。
粘一个严谨的证明(其实我自己也没认真看)
我们对c(n)进行归纳。
当c(n)=1时，即n=2^k，ans(n)显然=(n-1)。
我们假设c(n)<=x的情况下ans(n)=n-c(n)都成立。
当c(n)=x+1时，我们要证明ans(n)=n-c(n)。
令j为不超过n的2的幂次的最大值，
有ans(n)=ans(n-j)+ans(j)=n-j-(c(n)-1)+j-1=n-c(n)。
即ans(n)的下界为n-c(n)。
将ans(n)分成两个数i,j时有c(i)+c(j)>=c(n)。
当i不等于j时，有ans(n)<=i-c(i)+j-c(j)<=n-c(n)。
当i=j时，有c(i)+c(j)=2*c(n)，
ans(n)<=i-c(i)+j-c(j)+1<=n-c(n)*2+1，c(n)是正整数。
综上，ans(n)的上界也为n-c(n)。假设成立

换句话说：找规律~~

#include<iostream>#include<cstdio>using namespace std;int n,ans;int work(int n){    if(n==1||n==0) return 0;    int t=1;    while(t*2<=n)    t=t*2;    return t-1+work(n-t);}int main(){    freopen("chocolate.in","r",stdin);    freopen("chocolate.out","w",stdout);    cin>>n;    cout<<work(n);    fclose(stdin);fclose(stdout);    return 0;}