对极几何与基础矩阵

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一、对极几何

  当使用两个相机在不同位置对同一场景进行拍摄时，为了描述两幅图像之间的关系，引入对极几何。对极几何是两幅图像之间，两幅图像上的匹配点与以基线（连接两摄像机中心的直线）为轴的平面束的交的几何。如下图所示：

对极几何中涉及到的几何元素，参考下图，包括：
（1）对极点是图中所示的el和er，为基线与像平面的交点。el是右边相机的光心Or在左边相机图像上的像。同理，er是是左边相机的光心Ol在右边相机图像上的像。
（2）对极平面是以基线涠洲的平面簇。对于空间点P来说，对极平面就是由P、Ol以及Or确定的平面。
（3）对极线是图像平面与对极平面的交线，所有对极线交于对极点。

二、基础矩阵F

  为了描述对极几何，引入基础矩阵（Fundamental matrix）。对于一幅图像上的点x，在另一幅图像上存在对极线l’，并且在第二幅图像上，与x匹配的点x’必然在l’上。为了表示x与l’关系，我们令基础矩阵F定义为：

l′=Fx

假设第一幅图到第二幅图之间存在单应性变换H，则

x′=Hx

又因为l’是表示过对极点e’和图像点x’的直线，可以表示为：

l′=e′×x′=[e′]xx′=[e′]xHx

所以可得

F=[e′]xH

其中e′=[a1,a2,a3]T，则它的反对称阵定义为：

[e′]x=⎡⎣⎢0a3−a2−a30a1a2−a10⎤⎦⎥

（1）用射影矩阵表示基础矩阵

  在已知两个摄像机的射影矩阵P和P’时，对于图像上的一点x，可以得到其反投影射线方程为：

X(λ)=P+x+λC

其中P+是P的伪逆，即PP^+^ = I，C为摄像机中心。射线上的两点：P+x（当λ=0）、C（当λ=∞）在第二个摄像机P’拍摄下，在第二幅视图上的点分别为P′P+x和P′C，这两点过对极线l’，即

l′=(P′C)×(P′P+x)=[e′]x(P′P+)x

可以推得

F=[e′]xP′P+

（2）基础矩阵满足的性质

★ F是秩为2、自由度为7的齐次矩阵。
★ 若x与x’是两幅图上的对应点，那么x′TFx=0
★ l’是对应于x的对极线，l′=Fx
  l是对应于x’的对极线，l=FTx′
★ e是第二个摄像机光心在第一幅图像上的极点，Fe=0
  e’是第一个摄像机光心在第二幅图像上的极点，FTe′=0
★ 已知两个摄像机射影矩阵P和P’，F=[e′]xP′P+