【多视图几何】对极几何与基本矩阵
来源:互联网 发布:nba数据统计20172018 编辑:程序博客网 时间:2024/04/30 14:03
本文未指明图片来源为 Multiple View Geometry in Computer Vision 。
读 Multiple View Geometry in Computer Vision 所做笔记。
第 9 章 《对极几何与基本矩阵》,Epipolar Geometry and the Fundamental Matrix。
对极几何研究的对象是双视图几何,即两张相邻影像的位姿关系。
1. 对极几何基本概念
- 核点(epipole):基线(baseline)与成像平面的交点。同时极点也可以理解为相邻影像成像中心在本影像上的像,因为基线是两个相邻影像成像中心的连线。
- 核平面(epipolar plane):含有基线的平面,是一簇平面。可以看做是由基线与空间中任意一点构成的平面。
- 核线(epipolar line):核平面与成像平面的交线。可以看做是成像平面上的任意一点(非核点)与核点所定义的直线。
2. 基本矩阵 F
基本矩阵可以看做是将点投影(转换)为直线,将左影像上的一个点投影到右影像上形成一条核线。
2.1 几何推导基本矩阵
假设有一空间平面
右影像上的核线
将
这样就得到了基本矩阵的定义:
因为
2.2 代数推导基本矩阵
空间中三维点
现在想办法将
对于左影像
现在将这一条直线投影到右影像上,即可得到右影像的核线。投影的方式是在
取
所以
2.3 基础矩阵的性质
- 转置对称性:如果
F 是一对影像(P,P′) 的基础矩阵(即x′Fx=0 ),反过来(P′,P) 的基础矩阵是FT 。证明很简单,直接对x′Fx=0 两侧分别转置,得到xTFTx′=0 。 - 核线:对于左影像上任意一点
x ,其在右影像上的核线为l′=Fx 。 - 核点:任何核线都会经过核点,所以有对于左影像上任意一点
x ,e′Tl′=e′T(Fx)=0 ,于是有e′TF=0 。同理有Fe=0 。 F 具有7自由度:一个 3x3 的单应矩阵,具有8个自由度,而F 还满足detF=0 ,所以F 具有7个自由度。F 是相关的:F 将左影像上的一点x 投影到右影像上一条核线l′ ,投影本质上是将x 与左核点的连线l 投影到右影像上的核线l′ ,所以右影像上的一条核线l′ 对应的是左影像上的一条核线l ,这种点到线的投影不可逆。
2.4 核线的单应性
一张截图说明一切:
两张影像上核线的对应关系可以看作是中心投影,投影中心
求左核线
直线
3. 从特殊运动中推导基础矩阵
3.1 仅有位移
在仅有位移的情况下,左右相机的内参也一致,左右相机的投影矩阵可以写成
可以得到
计算两张影像上影像坐标的对应关系。
3.2 旋转与位移
当两张影像相对位姿含有旋转与位移时,先将左影像进行旋转,与右影像对齐(具有相同的姿态)。于是将问题简化为上述的位移问题。
将一张影像仅做旋转,相当于将影像进行一次平行投影(投影点在无穷远处),如下图:
这个平行投影可以使用单应矩阵
将上式的
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