BZOJ 2844 albus就是要第一个出场（线性基）

Description

已知一个长度为n的正整数序列A（下标从1开始）， 令 S = { x | 1 <= x <= n }, S 的幂集2^S定义为S 所有子

集构成的集合。定义映射 f : 2^S -> Zf(空集) = 0f(T) = XOR A[t] , 对于一切t属于T现在albus把2^S中每个集

合的f值计算出来， 从小到大排成一行， 记为序列B（下标从1开始）。 给定一个数， 那么这个数在序列B中第1

次出现时的下标是多少呢？

Input

第一行一个数n, 为序列A的长度。接下来一行n个数， 为序列A， 用空格隔开。最后一个数Q， 为给定的数.

Output

共一行， 一个整数， 为Q在序列B中第一次出现时的下标模10086的值.

Sample Input

3
1 2 3
1

Sample Output

3
样例解释：
N = 3, A = [1 2 3]
S = {1, 2, 3}
2^S = {空, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}
f(空) = 0
f({1}) = 1
f({2}) = 2
f({3}) = 3
f({1, 2}) = 1 xor 2 = 3
f({1, 3}) = 1 xor 3 = 2
f({2, 3}) = 2 xor 3 = 1
f({1, 2, 3}) = 0
所以
B = [0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3]

思路：

第一次做线性基的题目，花了一上午搞懂，然后下午敲了一发WA到死，最后发现是异或和位运算的时候没有加括号，QAQ。

n个数可以用高消求出k个线性基，然后由不同的线性基异或出所有的原集中的和，从小到大异或这k个线性基，假如第i次异或出来小于q，则有2的i次个可能异或和，这题每个异或和的数量还都是相同的，所有每个异或和的数量即2的n-k次。

我们从高位枚举求出的线性基，当出现异或和小于q的时候，由于是从高位枚举，所以代表位小于i所在代表位的位置的所有线性基异或出来的值一定小于q，所以每次枚举加上2的num-i次（从高位开始枚举）的异或和，最后一起乘上2的n-k次即可。

代码：

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>using namespace std;typedef long long LL;const int maxn=1e5+5;int a[maxn];int n;void gauss(){    int i, j, row=1;    for(j=29; j>=0; j--)    {        for(i=row; i<=n; i++)        {            if((a[i]>>j)&1)            {                break;            }        }            if(i>n)continue;            swap(a[i], a[row]);            for(i=1; i<=n; i++)            {               if(i!=row && (a[i]>>j)&1) a[i]^=a[row];            }            row++;    }}int qmod(int x, int y){    int res=1;    while(y)    {        if(y%2)res=res*x%10086;        x=x*x%10086;        y/=2;    }    return res;}int main(){    scanf("%d", &n);    int i, j;    for(i=1; i<=n; i++)    {        scanf("%d", &a[i]);    }    gauss();    int q;    scanf("%d", &q);    int num=0;    for(i=1; i<=n; i++)if(a[i])num++;    LL st=0;    LL ans=0;    for(i=1; i<=num; i++)    {        if((st^a[i])>q)continue;        st^=a[i];        ans=(ans+(1LL<<(num-i))%10086)%10086;    }    for(i=1; i<=n-num; i++)    {        ans<<=1LL;        ans%=10086;    }    ans++;    ans%=10086;    cout<<ans<<endl;    return 0;}