【例题】【递归/推】NKOJ 3527数的划分&3526 放苹果&3131自然数的拆分
来源:互联网 发布:网络阿里客服工作流程 编辑:程序博客网 时间:2024/05/22 06:15
1、
NKOJ3527 数的划分
时间限制 : 10000 MS 空间限制 : 65536 KB
问题描述
将整数n分成k份,且每份不能为空,任意两份不能相同(不考虑顺序)。
例如:n=7,k=3,下面三种分法被认为是相同的。
1,1,5; 1,5,1; 5,1,1;
问有多少种不同的分法。
输入格式
n,k (6< n<=200,2<=k<=6)
输出格式
一个整数,即不同的分法。
样例输入
7 3
样例输出
4
{四种分法为:1,1,5;1,2,4;1,3,3;2,2,3;}
思路:
设f[i][j]表示i分为j个数的方案数,
在f[i][j]的所有方案中,含1的为f[i-1][j-1],不含的,考虑将所有数字减去1,所以方案数为f[i-j][j]
f[i][[j]=f[i-1][j-1]+f[i-j][j]
#include<cstdio>using namespace std;int f(int n,int k){ if(n==0||k>n) return 0; if(n==1||k==1||k==n) return 1; if(n>k) return f(n-1,k-1)+f(n-k,k);}int main(){ int n,k;scanf("%d%d",&n,&k); printf("%d",f(n,k));}
2、
NKOJ 3526 放苹果
时间限制 : 10000 MS 空间限制 : 65536 KB
问题描述
一天,Formiko由于成绩优秀,得到了何老板赏赐的m个完全相同的苹果。他觉得何老板赏赐的东西十分有纪念价值,就准备把这些苹果放到n个完全相同的盘子里保存起来。但这时患有重度强迫症的Formiko想知道将m个苹果放入n个盘子共有多少种放的方案,否则他就不能放入了(悲剧啊!)。但是苹果和盘子也许有很多,显然方案就会有很多,Formiko不能把所有的方案数全部数清楚,所以这个艰巨而又坑壁的任务就交给你了。(答案对1000007取模)
但Formiko还是没有如此作死地把任务全部交给你,他给了你两点十分重要的提示提示:1、允许有的盘子空着不放;2、例如5,1,1和1,1,5是同一种放法。
输入格式
一行,两个整数m,n,分别表示m个苹果和n个盘子。
输出格式
一行,一个整数ans,表述方案总数。
样例输入
7 3
样例输出
8
提示
1<=m,n<=2000
思路:
法一:
同题1,f[i][j]表示将i个苹果放满 j个盘子的方案数;
f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-j][j]
因为可以空,所以求sum
#include<cstdio>#include<iostream>using namespace std;int f[2002][2002];//f[i][j]表示表示将i个苹果放满j个盘子的方案数 int main(){ int n,k;scanf("%d%d",&n,&k); int ans=0; f[1][1]=1; for(int i=2;i<=n;i++) for(int j=1;j<=k&&j<=i;j++) { f[i][j]=(f[i-1][j-1]%1000007+f[i-j][j]%1000007)%1000007; } for(int i=1;i<=k;i++) ans=(ans+f[n][i])%1000007; printf("%d",ans);}
法二:
f[i][j]表示将i个苹果放j个盘子可以空的方案数
若方案中有0,则去掉一个0后方案数为f[i][j-1]
若没有0,则每个盘子减去一个苹果,方案数为f[i-j][j]
f[i][j]=f[i][j-1]+f[i-j][j];
#include<cstdio>#include<iostream>using namespace std;int f[2002][2002];//f[i][j]表示表示将i个苹果放j个盘子可以空的方案数 int main(){ int n,k;scanf("%d%d",&n,&k); int ans=0; for(int i=1;i<=k;i++) f[0][i]=1; for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=k;j++) { f[i][j]=f[i][j-1]%1000007; if(i>=j) f[i][j]=(f[i][j]+f[i-j][j]%1000007)%1000007; } printf("%d",f[n][k]);}
3、
NKOJ3131 自然数的拆分
时间限制 : 10000 MS 空间限制 : 65536 KB
问题描述
任何一个大于1的自然数N,总可以拆分为若干个自然数之和,并且有多种拆分方法。
例如,自然数5,可以有以下一些拆分方法:
5=1+1+1+1+1
5=1+1+1+2
5=1+1+3
5=1+2+2 ( 5=2+1+2,5=2+2+1,看成同一种拆分)
5=1+4 ( 5=4+1看成同一种拆分)
5=2+3 ( 5=3+2看成同一种拆分)
请设计一个对任意自然数,找出所有拆分方法的程序。
输入格式
一个正整数n,(2<=n<=35)
输出格式
第一行,一个整数t,表示拆分的总方案数
样例输入
样例输入1:
5
样例输入2:
6
样例输出
样例输出1:
6
样例输出2:
10
提示
样例2说明
10种方案如下:
6=1+1+1+1+1+1
6=1+1+1+1+2
6=1+1+1+3
6=1+1+2+2
6=1+1+4
6=1+2+3
6=1+5
6=2+2+2
6=2+4
6=3+3
思路: //状态转移不下去就加维
法一:
同题1/题2法一,f[i][j]表示将i划分为j个数的方案数;
f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-j][j]
#include<cstdio>using namespace std;int f(int n,int k)//f(n,k) 表示将n划分为k个数的方案数 { if(n==0||k>n) return 0; if(n==1||k==1||k==n) return 1; if(n>k) return f(n-1,k-1)+f(n-k,k);}int main(){ int n;scanf("%d",&n); int sum=0; for(int i=1;i<n;i++) sum+=f(n,i); printf("%d",sum);}
法二:
状态:f[i][j]表示i拆分,且最大加数不超过j的方案数。j<=i;
若最大加数为j,则方案数为f[i-j][j];
若不为j,方案数为f[i][j-1];
所以,f[i][j]=f[i][j-1]+f[i-j][j]
注意j<=i。j>i的情况都应处理为j==i的情况;
//递归#include<cstdio>#include<iostream>using namespace std;int solve(int n,int m){ if(n==0||n==1||m==1) return 1; else return solve(n-m,min(n-m,m))+solve(n,min(n,m-1));}/*int solve(int n,int m){ if(n==0||n==1||m==1) return 1; if(n<m) return solve(n,n);//算优化。 else return solve(n-m,m)+solve(n,m-1);}*/int main(){ int n;scanf("%d",&n); printf("%d",solve(n,n-1));}
//递推#include<cstdio>#include<iostream>using namespace std;const int need=37;int f[need][need];int main(){ int n;scanf("%d",&n); f[0][0]=f[0][1]=f[1][1]=1; for(int i=1;i<=n;i++) f[i][1]=1; for(int i=2,j;i<=n;i++) for(j=2;j<=i;j++) { f[i][j]=f[i-j][min(i-j,j)]+f[i][min(i,j-1)]; } printf("%d",f[n][n-1]);}
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