[数据结构] 时间复杂度的理解

时间复杂度：函数计算之行的基本次数

面试tip：面试官问及时间复杂度不一定只有最坏的，一般人一般会直接答最坏的，其实还有最好和平均。

例如：在一个长度为N的线性表中搜索一个数据x。

最坏：没有找到，到最后才找到

平均：不好不坏到中间才找到

最好：很开心第一下就找到了，一般必须要关注，但是在哈希的时候会关注

官方的说法：

1. 最坏情况：任意输入规模的最大运行时间。（上界）
2. 平均情况：任意输入规模的期望运行时间。
3. 最好情况：任意输入规模的最小运行时间，通常最好情况不会出现。（下界）

在实际中我们通常情况考量的是算法的最坏运行情况。也就是说对于任意输入规模N，算法的最长运行时间，理由如下：

1. 一个算法的最坏情况的运行时间是在任意输入下的运行时间上界。
2. 对于某些算法，最坏的情况出现的较为频繁。
3. 大体上看，平均情况与最坏情况一样差。

算法分析要保持大局观：

1. 忽略掉那些的常数。
2. 关注运行时间的增长趋势，关注函数式中增长最快的表达式。

描述这时间复杂度的站在数学家的角度总会抽象出一个东西，那这个东东我想就是大O的渐进表示法、

如：F(N) = N^3 + N^2 + N +1000,则关注N^3->O(N^3)

Test1的时间复杂度为：O(N^2)

Test2的时间复杂度为：O(M+N)

Test3的时间复杂度为：O(M*N)

下面来算下常见的几种算法的时间复杂度：

冒泡：（比较次数）

等差数列：(n-1)+(n-2)+.......+1 = n*(1+(n-1))/2 = 1/2n^2  约等于  O(n^2)

二分查找：（前提：有序）相当于一颗搜索二叉树(左孩子比根大右孩子比根小)，每次排出一半

假设树的高度h节点有N个

2^h-1 = N

二分查找的时间复杂度相当于搜索二叉树的高度 ！！！ 是不是很震撼

这里扩展下如果不是二分查找，三分，四分，五分呢？ 那不就是多叉树吗！！哈哈

二分查找的时间复杂度：O(log2N)

变形下就是：O(logmN) (m就是几叉  几分)

折纸法理解折半查找

递归算法的时间复杂度计算

递归算法的时间复杂度为递归总次数*每次递归次数。

• 空间复杂度

空间复杂度的计算跟时间复杂度类似，也使用大O的渐进表示法。--（对象的个数）

要注意的是递归算法的空间复杂度，假如递归深度为N*每次递归的空间大小为1，则空间复杂度为O(N)。

• 以斐波那契数列学习时间复杂度&空间复杂度的计算

long long Fibonacci1( int n )

{

           return n < 2 ? n : Fibonacci(n - 1) + Fibonacci( n - 2);

}

斐波那契递归算法时间复杂度：O（2^N）空间复杂度为:O(N)（请自己画图思考这里的时间复杂度和空间复杂度是这样？）

实现斐波那契数列

升级版1: 要求时间复杂度为O(N)。

升级版2：要求时间复杂复杂度为O(N)，空间复杂度为O(1)。

斐波那契的优化

long long Fibonacci2(int n)

{

           long long * fibArray = new long long[ n+1];

           fibArray[0] = 0;

           fibArray[1] = 1;

           for (int i = 2; i <= n ; ++i)

          {

                    fibArray[i ] = fibArray[ i - 1] + fibArray [i - 2];

          }

           long long ret = fibArray[n ];

           delete[] fibArray ;

           return ret ;

}

long long Fibonacci3( int n )

{

           long long fibArray[3] = {0, 1, n};

           for (int i = 2; i <= n ; ++i)

          {

                    fibArray[2] = fibArray [1] + fibArray[0];

                    fibArray[0] = fibArray [1];

                    fibArray[1] = fibArray [2];

          }

           return fibArray [2];

}