从Model Space到Canonical view volume转换矩阵的计算

从Model Space到Canonical view volume转换矩阵的计算

 (2011-10-12 13:18:39)

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矩阵

 分类： 技术

一、计算旋转矩阵RotateMatrix

    3D中绕任意轴n（单位向量）旋转θ 的公式推导见书《3D数学基础：图形与游戏开发》第91页（8.2.3 3D中绕任意轴的旋转）一节，贴出公式如下公式8.5。旋转矩阵R(n,θ)为：

 

适用于OPENGL（右手坐标系）的实现程序：

void makeRotateMatrix(float angle,//旋转角度 单位：度

                      float ax, float ay, float az,//旋转轴

                      float m[16])//旋转矩阵

{

  float radians, sine, cosine, ab, bc, ca, tx, ty, tz;

  float axis[3];

  float mag;

  axis[0] = ax;

  axis[1] = ay;

  axis[2] = az;

  mag = sqrt(axis[0]*axis[0] + axis[1]*axis[1] + axis[2]*axis[2]);

  if (mag) {

    axis[0] /= mag;

    axis[1] /= mag;

    axis[2] /= mag;

  }

  radians = angle * myPi / 180.0;//弧度转换

  sine = sin(radians);

  cosine = cos(radians);

  ab = axis[0] * axis[1] * (1 - cosine);

  bc = axis[1] * axis[2] * (1 - cosine);

  ca = axis[2] * axis[0] * (1 - cosine);

  tx = axis[0] * axis[0];

  ty = axis[1] * axis[1];

  tz = axis[2] * axis[2];

  m[0]  = tx + cosine * (1 - tx);

  m[1]  = ab + axis[2] * sine;

  m[2]  = ca - axis[1] * sine;

  m[3]  = 0.0f;

  m[4]  = ab - axis[2] * sine;

  m[5]  = ty + cosine * (1 - ty);

  m[6]  = bc + axis[0] * sine;

  m[7]  = 0.0f;

  m[8]  = ca + axis[1] * sine;

  m[9]  = bc - axis[0] * sine;

  m[10] = tz + cosine * (1 - tz);

  m[11] = 0;

  m[12] = 0;

  m[13] = 0;

  m[14] = 0;

  m[15] = 1;

}

二、计算位移矩阵

    位移矩阵比较简单，在列主序矩阵中，即在第四列前三元素为位移量，左上3X3矩阵为单位正矩阵。

典型的位移矩阵为：

           
适用于OPENGL（右手坐标系）的实现程序：

void makeTranslateMatrix(float x, float y, float z, float m[16])

{

  m[0]  = 1;  m[1]  = 0;  m[2]  = 0;  m[3]  = x;

  m[4]  = 0;  m[5]  = 1;  m[6]  = 0;  m[7]  = y;

  m[8]  = 0;  m[9]  = 0;  m[10] = 1;  m[11] = z;

  m[12] = 0;  m[13] = 0;  m[14] = 0;  m[15] = 1;

}

三、计算ModelMatrix

    模型矩阵的功能就是将模型空间转化为世界坐标系。因为我们创作某个模型时是在模型自身的坐标系内完成的，而要描述模型间的相对位置关系时，需要引入世界坐标系。所以需要进行顶点坐标从模型空间转换为世界坐标空间。转换公式为：

     ModelMatrix = TranslateMatrix * RotateMatrix (先移位后旋转)

四、计算ModelViewMatrix（模型坐标转换为眼坐标空间）

    每个人都是从各自的视点出发观察这个世界，无论是主观世界还是客观世界。同样，在计算机中每次只能从唯一的视角出发渲染物体。在游戏中，都会提供视点漫游的功能，屏幕显示的内容随着视点的变化而变化。这是因为GPU 将物体顶点坐标从world space 转换到了eye space。所谓eye space，即以camera（视点或相机）为原点，由视线方向、视角和远近平面，共同组成一个梯形体的三维空间，称之为viewing frustum（视锥），

如图 4 所示。近平面，是梯形体较小的矩形面，作为投影平面，远平面是梯形体较大的矩形，在这个梯形体中的所有顶点数据是可见的，而超出这个梯形体之外的场景数据，会被视点去除（Frustum Culling，也称之为视锥裁剪）。（摘自GPU Programming and Cg language Primer）

        

      在GPU管线（pipeline）中，通过ViewMatrix * ModelMatrix将模型坐标空间的坐标转换为世界坐标空间，再转换为眼坐标空间。转换公式为：

         ModelViewMatrix = ViewMatrix * ModelMatrix

      关于眼坐标空间中ViewMatrix的计算见我的博客《关于ViewMatrix计算》一节。

五、投影矩阵(ProjMatrix)的计算(理解这一部分非常重要)

   透视投影是GPU流水线的重要组成部分，是将相机空间中的点从视锥体(frustum)变换到规则观察体(Canonical
View
Volume)中，待裁剪完毕后进行透视除法的行为。在算法中它是通过透视矩阵乘法和透视除法两步完成的。投影矩阵公式为：

        

    其中，

        N：为眼睛或摄像机中心到近裁剪面的距离；

        F：为眼睛或摄像机中心到远裁剪面的距离；

        left：为投影平面左边界值；

        right：为投影平面右边界值；

        top：为投影平面上边界值；

        bottom：为投影平面下边界值；

    M即为最终投影变换矩阵。相机空间中的顶点，如果在视锥体中，则变换后就在CVV中。如果在视锥体外，变换后就在CVV外。而CVV本身的规则性对于多边形的裁剪很有利。OpenGL在构建透视投影矩阵的时候就使用了M的形式。注意到M的最后一行不是(0 0 0 1)而是(0 0 -1 0)，因此可以看出透视变换不是一种仿射变换，它是非线性的。另外一点你可能已经想到，对于投影面来说，它的宽和高大多数情况下不同，即宽高比不为1，比 如640/480。而CVV的宽高是相同的，即宽高比永远是1。这就造成了多边形的失真现象，比如一个投影面上的正方形在CVV的面上可能变成了一个长方 形。解决这个问题的方法就是在对多变形进行透视变换、裁剪、透视除法之后，在归一化的设备坐标(Normalized Device Coordinates)上进行的视口(viewport)变换中进行校正，它会把归一化的顶点之间按照和投影面上相同的比例变换到视口中，从而解除透视 投影变换带来的失真现象。进行校正前提就是要使投影平面的宽高比和视口的宽高比相同。

gluPerspective(fov, aspect, near, far)

    fov即视野，是视锥体在xz平面或者yz平面的开角角度，具体哪个平面都可以。OpenGL和 D3D都使用yz平面。

    aspect即投影平面的宽高比。

    near是近裁剪平面的距离。

    far是远裁剪平面的距离。

（本节部分材料摘自未知姓名的网友word文档，未能找到相关链接，在此表示感谢！）

适用于OPENGL的程序实现：

     在程序中，读者朋友您可能对于投影变换的计算很迥异，因为这和上面的公式完全不同形式。但是，当你深入了解其本质后，你会发现，其实他们是同质的。

在上面公式中隐含着这样一些条件：

  aspectRatio = right/top

  top = N * tan(fov/2）

  bottom = -top

  right = top * aspectRatio

  right = -left

化简上面的M后，投影矩阵变为：

            

然后再结合下面程序理解，就应该明了。

void buildPerspectiveMatrix(double fieldOfView,

                                   double aspectRatio,//width / height

                                   double zNear, double zFar,

                                   float m[16])

{

  double sine, cotangent, deltaZ;

  double radians = fieldOfView / 2.0 * myPi / 180.0;

  

  deltaZ = zFar - zNear;

  sine = sin(radians);

  // Should be non-zero to avoid division by zero. 

  assert(deltaZ);

  assert(sine);

  assert(aspectRatio);

  cotangent = cos(radians) / sine;

  m[0*4+0] = cotangent / aspectRatio;

  m[0*4+1] = 0.0;

  m[0*4+2] = 0.0;

  m[0*4+3] = 0.0;

  

  m[1*4+0] = 0.0;

  m[1*4+1] = cotangent;

  m[1*4+2] = 0.0;

  m[1*4+3] = 0.0;

  

  m[2*4+0] = 0.0;

  m[2*4+1] = 0.0;

  m[2*4+2] = -(zFar + zNear) / deltaZ;

  m[2*4+3] = -2 * zNear * zFar / deltaZ;

  

  m[3*4+0] = 0.0;

  m[3*4+1] = 0.0;

  m[3*4+2] = -1;

  m[3*4+3] = 0;

}

五、计算ModelViewProjMatrix

    通过ModelViewProjMatrix矩阵就可以使从模型坐标空间的坐标变换到CVV（规范立方体，Canonical view
volume, CVV）空间坐标了，该立方体的对角顶点分别是(-1,-1,-1)和(1,1,1)，CVV 的近平面（梯形体较小的矩形面）的X、Y 坐标对应屏幕像素坐标（左下角是0、0），Z 坐标则是代表画面像素深度。

。ModelViewProjMatrix计算公式为：

      modelViewProjMatrix = projectionMatrix * modelViewMatrix

   至此，完成了从模型坐标空间到CVV的坐标转换。其简图示意为：

（此图来自于The Cg Tutorial）

程序选自：NVIDIA Corporation\Cg\examples\OpenGL\basic\08_vertex_transform

    在自己学习的过程中，将这些难点整理出来，请雅正。同时希望能对正在阅读的您也有所帮助，最重要的还是动手去实现，再结合一些经典教材去理解。个人觉得这样才能有更深刻的理解。