经典算法题13-并查集算法

这一篇我们看看经典又神奇的并查集，顾名思义就是并起来查，可用于处理一些不相交集合的秒杀。

一. 问题

有时候我们会遇到这样的场景，比如下面这道题，杭电1232畅通工程：

畅通工程

Time Limit: 4000/2000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 48855    Accepted Submission(s): 26034

Problem Description
某省调查城镇交通状况，得到现有城镇道路统计表，表中列出了每条道路直接连通的城镇。省政府“畅通工程”的目标是使全省任何两个城镇间都可以实现交通（但不一定有直接的道路相连，只要互相间接通过道路可达即可）。问最少还需要建设多少条道路？

Input
测试输入包含若干测试用例。每个测试用例的第1行给出两个正整数，分别是城镇数目N ( < 1000 )和道路数目M；随后的M行对应M条道路，每行给出一对正整数，分别是该条道路直接连通的两个城镇的编号。为简单起见，城镇从1到N编号。
注意:两个城市之间可以有多条道路相通,也就是说：

 3 3 1 2 1 2 2 1

这种输入也是合法的
当N为0时，输入结束，该用例不被处理。

Output
对每个测试用例，在1行里输出最少还需要建设的道路数目。

Sample Input

4 21 34 33 31 21 32 35 21 23 5999 00

Sample Output

102998

二. 分析

首先在地图上给你若干个城镇，这些城镇都可以看作点，
然后告诉你哪些对城镇之间是有道路直接相连的，
最后要解决的是整幅图的连通性问题。

比如随意给你两个点，让你判断它们是否连通，或者问你整幅图一共有几个连通分支，也就是被分成了几个互相独立的块。像畅通工程这题，问还需要修几条路，实质就是求有几个连通分支。

如果是1个连通分支，说明整幅图上的点都连起来了，不用再修路了；如果是2个连通分支，则只要再修1条路，从两个分支中各选一个点，把它们连起来，那么所有的点都是连起来的了；如果是3个连通分支，则只要再修两条路，等等。

以下面这组数据输入数据来说明

4 2 1 3 4 3

第一行告诉你，一共有4个点，2条路。
下面两行告诉你，1、3之间有条路，4、3之间有条路。
那么整幅图就被分成了1-3-4和2两部分。只要再加一条路，把2和其他任意一个点连起来，畅通工程就实现了，那么这个这组数据的输出结果就是1。

好了，现在编程实现这个功能吧，城镇有几百个，路有不知道多少条，而且可能有回路。 这可如何是好？
我以前也不会呀，自从用了并查集之后，嗨，效果还真好！我们全家都用它！

并查集由一个整数型的数组和两个函数构成。数组pre[]记录了每个点的前导点是什么，函数find是查找，join是合并。

//查找根节点static int find(int x) {    int r = x;    while (pre[r] != r)        //返回根节点 r        r = pre[r];    int i = x;    int j;    //路径压缩    while (i != r) {        // 在改变上级之前用临时变量  j 记录下他的值        j = pre[i];        //把上级改为根节点        pre[i] = r;        i = j;    }    return r;}

// 判断x y是否连通static void join(int x, int y) {    int fx = Find(x), fy = Find(y);    //如果不连通，就把它们所在的连通分支合并    if (fx != fy) {        pre[fy] = fx;    }    //如果已经连通，就不用管了}

三. 解释

并查集的原理

为了解释并查集的原理，我将举一个更有爱的例子。

话说江湖上散落着各式各样的大侠，有上千个之多。他们没有什么正当职业，整天背着剑在外面走来走去，碰到和自己不是一路人的，就免不了要打一架。但大侠们有一个优点就是讲义气，绝对不打自己的朋友。而且他们信奉“朋友的朋友就是我的朋友”，只要是能通过朋友关系串联起来的，不管拐了多少个弯，都认为是自己人。
这样一来，江湖上就形成了一个一个的群落，通过两两之间的朋友关系串联起来。而不在同一个群落的人，无论如何都无法通过朋友关系连起来，于是就可以放心往死了打。

但是两个原本互不相识的人，如何判断是否属于一个朋友圈呢？

我们可以在每个朋友圈内推举出一个比较有名望的人，作为该圈子的代表人物，这样，每个圈子就可以这样命名“齐达内朋友之队”“罗纳尔多朋友之队”……两人只要互相对一下自己的队长是不是同一个人，就可以确定敌友关系了。
但是还有问题啊，大侠们只知道自己直接的朋友是谁，很多人压根就不认识队长，要判断自己的队长是谁，只能漫无目的的通过朋友的朋友关系问下去：“你是不是队长？你是不是队长？”这样一来，队长面子上挂不住了，而且效率太低，还有可能陷入无限循环中。于是队长下令，重新组队。
队内所有人实行分等级制度，形成树状结构，我队长就是根节点，下面分别是二级队员、三级队员。每个人只要记住自己的上级是谁就行了。遇到判断敌友的时候，只要一层层向上问，直到最高层，就可以在短时间内确定队长是谁了。由于我们关心的只是两个人之间是否连通，至于他们是如何连通的，以及每个圈子内部的结构是怎样的，甚至队长是谁，并不重要。所以我们可以放任队长随意重新组队，只要不搞错敌友关系就好了。于是，门派产生了。

并查集的实现

下面我们来看并查集的实现。

int pre[1000] 这个数组，记录了每个大侠的上级是谁。大侠们从1或者0开始编号（依据题意而定），pre[15]=3 就表示15号大侠的上级是3号大侠。如果一个人的上级就是他自己，那说明他就是掌门人了，查找到此为止。也有孤家寡人自成一派的，比如欧阳锋，那么他的上级就是他自己。每个人都只认自己的上级。比如胡青牛同学只知道自己的上级是杨左使。张无忌是谁？不认识！要想知道自己的掌门是谁，只能一级级查上去。

find 这个函数就是找掌门用的，意义再清楚不过了（路径压缩算法先不论，后面再说）。

int find(int x)           //查找我（x）的掌门{    int r=x;              //委托 r 去找掌门    while (pre[r]!=r)    //如果 r 的上级不是r自己（也就是说找到的大侠他不是掌门 = =）    r=pre[r] ;           // r 就接着找他的上级，直到找到掌门为止。    return  r;           //掌门驾到~~~}

再来看看join函数，就是在两个点之间连一条线，这样一来，原先它们所在的两个板块的所有点就都可以互通了。这在图上很好办，画条线就行了。
但我们现在是用并查集来描述武林中的状况的，一共只有一个pre[]数组，该如何实现呢？

还是举江湖的例子，假设现在武林中的形势如图所示。
虚竹小和尚与周芷若MM是我非常喜欢的两个人物，他们的终极boss分别是玄慈方丈和灭绝师太，那明显就是两个阵营了。我不希望他们互相打架，就对他俩说：“你们两位拉拉勾，做好朋友吧。”他们看在我的面子上，同意了。这一同意可非同小可，整个少林和峨眉派的人就不能打架了。这么重大的变化，可如何实现呀，要改动多少地方？其实非常简单，我对玄慈方丈说：“大师，麻烦你把你的上级改为灭绝师太吧。这样一来，两派原先的所有人员的终极boss都是师太，那还打个球啊！反正我们关心的只是连通性，门派内部的结构不要紧的。”玄慈一听肯定火大了：“我靠，凭什么是我变成她手下呀，怎么不反过来？我抗议！”抗议无效，上天安排的，最大。反正谁加入谁效果是一样的，我就随手指定了一个。
这段函数的意思很明白了吧？

void join(int x,int y)              //我想让虚竹和周芷若做朋友{    int fx=find(x),fy=find(y);      //虚竹的老大是玄慈，芷若MM的老大是灭绝    if(fx!=fy)                      //玄慈和灭绝显然不是同一个人        pre[fx]=fy;                 //方丈只好委委屈屈地当了师太的手下啦}

路径压缩算法

再来看看路径压缩算法。

建立门派的过程是用join函数两个人两个人地连接起来的，谁当谁的手下完全随机。最后的树状结构会变成什么胎唇样，我也完全无法预计，一字长蛇阵也有可能。这样查找的效率就会比较低下。
最理想的情况就是所有人的直接上级都是掌门，一共就两级结构，只要找一次就找到掌门了。哪怕不能完全做到，也最好尽量接近。这样就产生了路径压缩算法。

设想这样一个场景：两个互不相识的大侠碰面了，想知道能不能揍。
于是赶紧打电话问自己的上级：“你是不是掌门？” 上级说：“我不是呀，我的上级是谁谁谁，你问问他看看。” 一路问下去，原来两人的最终boss都是东厂曹公公。 “哎呀呀，原来是记己人，西礼西礼，在下三营六组白面葫芦娃!” “幸会幸会，在下九营十八组仙子狗尾巴花！” 两人高高兴兴地手拉手喝酒去了。 “等等等等，两位同学请留步，还有事情没完成呢！”我叫住他俩。 “哦，对了，还要做路径压缩。”两人醒悟。 白面葫芦娃打电话给他的上级六组长：“组长啊，我查过了，其习偶们的掌门是曹公公。不如偶们一起及接拜在曹公公手下吧，省得级别太低，以后查找掌门麻环。” “唔，有道理。” 白面葫芦娃接着打电话给刚才拜访过的三营长……仙子狗尾巴花也做了同样的事情。 这样，查询中所有涉及到的人物都聚集在曹公公的直接领导下。每次查询都做了优化处理，所以整个门派树的层数都会维持在比较低的水平上。路径压缩的代码所实现的功能就是这么个意思。

四.编码

上面提到的畅通工程问题的答案：

package xm.math.unionfind;import java.util.Scanner;/** * 并查集的应用：道路畅通工程 * * @author xuming */public class RoadFinder {    static int pre[] = new int[1000];    //查找根节点    static int find(int x) {        int r = x;        while (pre[r] != r)            //返回根节点 r            r = pre[r];        int i = x;        int j;        //路径压缩        while (i != r) {            // 在改变上级之前用临时变量  j 记录下他的值            j = pre[i];            //把上级改为根节点            pre[i] = r;            i = j;        }        return r;    }    public static void main(String[] args) {        Scanner scan = new Scanner(System.in);        int n, m, p1, p2, i, total, f1, f2;        System.out.println("n:");        n = scan.nextInt();        //读入n，如果n为0，结束        while (n != 0) {            //刚开始的时候，有n个城镇，一条路都没有            // 那么要修n-1条路才能把它们连起来            total = n - 1;            //每个点互相独立，自成一个集合，从1编号到n            // 所以每个点的上级都是自己            for (i = 1; i < n; i++) {                pre[i] = i;            }            System.out.println("m:");            m = scan.nextInt();            //共有m条路            while (m-- > 0) {                //下面这段代码，其实就是join函数，只是稍作改动以适应题目要求                System.out.println("p1:");                p1 = scan.nextInt();                System.out.println("p2:");                p2 = scan.nextInt();                //每读入一条路，看它的端点p1，p2是否已经在一个连通分支里了                f1 = find(p1);                f2 = find(p2);                //如果是不连通的，那么把这两个分支连起来                //分支的总数就减少了1，还需建的路也就减了1                if (f1 != f2) {                    pre[f2] = f1;                    total--;                }                //如果两点已经连通了，那么这条路只是在图上增加了一个环 //对连通性没有任何影响，无视掉            }            //最后输出还要修的路条数            System.out.println(total);        }    }}

完整具体的代码见我的github。

结果