Linear Algebra - Lesson 27. 复数矩阵和快速傅里叶变换

Schedule

• Complex vectors and matrices
• Inner product of two complec vectors
• Discreate fourier
• Fourier matrix(傅里叶矩阵是复矩阵)
• Fourier transform.

通常n阶方阵的乘法要算n^2次,且这个矩阵的向量正交,则快速傅里叶变换可以将计算量减少至nlog2n

假设复向量z=⎡⎣⎢⎢⎢⎢z1z2⋮zn⎤⎦⎥⎥⎥⎥ in Cn,属于n维复向量, 那么z的模长公式则为 z2n=z¯nzn, 所以在对复矩阵求转置的时候,需要对其进行共轭运算, 用符号zH来表示进行共轭和转置,H代表埃尔米特(Hermite).
同样的,对于两个复向量的内积,也是与实向量的内积不同.
实向量的内积表示为yTx,对复向量来说,做转置的同时要取共轭(conjugate).
从而得到复向量的内积公式 : zHz=∣z21∣+∣z22∣+⋯+∣z2n∣

对于对称的实矩阵来说,AT=A,但是对于复矩阵并不成立.
对于复矩阵来说,需满足A¯T=A才可以称A为对称矩阵. 先按照对角线进行翻转,然后取共轭.
e.g.
A¯T=A=[23−i3+i5]
这即是复数情况下对应的对称矩阵,我们将其称之为埃尔米特矩阵(Hermitian Matrix)AH=A

Perpendicular
假设存在相互垂直的向量q1,q2,⋯,qn,则q¯Tiqj=qHiqj={01i≠j11i=j
由q1,q2,⋯,qn构成的矩阵Q,可以得到QHQ=I

对于实矩阵,我们称满足QTQ=I的矩阵为orthogonal matrix(正交矩阵).
对于复矩阵,我们称满足QHQ=I的矩阵为unitary matrix(酉矩阵).

酉矩阵是n阶方阵,列向量正交.

假设存在矩阵Fn=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢111⋮11ww2⋮wn−11w2w4⋮w2(n−1)⋯⋯⋯⋱⋯1wn−1w2(n−1)⋮w(n−1)2⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
i,j=0,1,2,⋯(n−1)→(Fn)ij=wij
同时,w满足wn=1,满足该条件的值很多,其中有w=1,w=ei∗2πn

假设w=i,则w2=i,w3=−i,w4=1
则F4=⎡⎣⎢⎢⎢⎢11111ii2i31i2i4i61i3i6i9⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢11111i−1−i1−11−11−i−1i⎤⎦⎥⎥⎥
这个矩阵的意义在于通过这个矩阵可以得到一个四点傅里叶变换.
该矩阵的各列均正交,可以看出各列之间的内积为0(转置,共轭).
对F4除以模长,则得到标准正交矩阵.