算法3.电路布线和0-1背包问题

1. 
   (1) 算法设计思路
   ① 当i=1，MNS（0j）=nets（0#（j）），如果j<#(1,size(j)=0,否则size(1，j)=1
   ② 当i>1，如果j<#(i)，nets(i,#(j))=nets(i-1,#(j)),size(i,j)=size(i-1,j)。否则，size(i,j)=MAX{size(i-1)，size(i-1,#(i)-1)+1}

(2) 算法实现的伪代码
计算最优值的算法functionA(int n, int[] A,int[][] size)
输入：n个接线柱，下端接线柱A[]，备忘录size[][].
输出：
s1: for int j=1 to A[0 size[[j]=0;end for
s2: for int j=A[1] to n,size[1][j]=1;end for
s3: for int i=2 to n
s4: for int j=1 to A[i]-1, size[i][j]=size[i-1][j];end for
s5: for int j=A[i] to n,size[i][j]=max(size[i-1][j],size[i-1][A[i]-1]+1);end for
s6: end for
s7: size[n][n]=max(size[n-1][n],size[n-1][A[n]-1]+1);
(1) 实验代码

    public class 电路布线 {        static void MNS(int n,int[] A,int[][] size){            for (int j=1;j<A[1];j++)//当i=1的时候，所有j<A[1]进行赋值为0                size[1][j]=0;            for (int j=A[1];j<=n;j++)//当i=1的时候，所有j>=A[1]进行赋值为1                size[1][j]=1;            for (int i=2;i<=n;i++){//当i>1时，                //如果j<A[i],（i，A[i]）不属于N（i，j），size[i][j]=size[i-1][j]                for (int j=0;j<A[i];j++)                    size[i][j]=size[i-1][j];                //若j>A[i],如果(i,A[i])属于N（i，j），则有size(i,j)=size[i-1][A[i]-1]                //反正则和j<A[i]一样，结果取这两种情况最大值                for (int j=A[i];j<n;j++)                    size[i][j]=Math.max(size[i-1][j], size[i-1][A[i]-1]+1);            }            //将所有的数据记录起来            size[n][n]=Math.max(size[n-1][n], size[n-1][A[n]-1]+1);        }        static int Track(int n,int[] A,int[][] size,int[] net){            int j=n;            int m=0;            for (int i=n;i>1;i--)                if (size[i][j]!=size[i-1][j]){                    net[m++]=i;                    j=A[i]-1;                }            if (j>=A[1])                net[m++]=1;            return m;        }        public static void main(String[] args) {            int n=10;            int[] A={0,8,7,4,2,5,1,9,2,10,6};            int[][] size=new int[11][11];            int[] net = new int[11];            MNS(n, A, size);            int m=Track(n, A, size,net);            System.out.println(m);        }    }

O(n)=n^2

(3) 体会
在分析的时候，一般都是从特殊情况考虑的，然后再从特殊值到一般值。一开始的时候，比较难想到j>∏（i）的时候分为2种情况。后来通过复习一下该算法才勉强记得出来和写出来。一般来说电路布线可以分为属于最大相交子集和不属于相交子集，通过分析就可以很快的得到思路和将伪代码写出来

1. 
2. 
   (1) 算法设计思路
   n种物品，物品i的重量是Wi，价值为Vi，背包容量为C，存在x（1,2,3,4,5….n）属于{0,1}。
   设最优子问题的最优值为m(i,j)，即背包容量为j，可以选物品为i,i+1…n。
   当i=n时：如果j<Wi,m(i,j)=m（n，j）=0.
如果j>Wi,m(i,j)=m(n,j)=Vn.
当0<i<n时，如果j<Wi,,m(i,j)=m(i+1,j)
如果j>Wi , m(i,j)=Vi+m(i+1,j-Wi)
m(i,j)=(m+1,j)
m(i,j)=max{m(i+1,j-Wi)+Vi,m(i+1,j)}
   (2) 算法实现的伪代码

A. 计算最优值的算法functionA(int n,int c , int[][] m,int w[],int v[])
输入：n种物品，物品的重量w[],价值v[],背包容量C，最优子问题的最优值m[][]
输出：m[n][c]
s1: int jmax=min(w[n]-1,c)
s2: for (int j=0 to jmax)m[n][j]=0; end for
s3: for (int j=w[n] to c) m[n][j]=v[n]; end for
s4: for (inti =n-1 to 2)
s5: jmax=min(w[n]-1,c);
s6: for (int j=0 to jmax) m[i][j]=m[i+1][j];
s7: for (int j= jmax to c) m[i][j]=max{m[i+1][j-w[i]]+v[i] , m[i+1][j] }
s8: end for
s9: m[1][c]=m[2][c];
s10: if (c>=w[1]) m[1][c]=max(m[1][c],m[2][c-w[1]]+v[1]);
B. 构造最优解的算法functionB(int[][] m, int[] w,int c,int n,int[] x)
输入：子问题最优值m[][]，物品重量w[]，背包容量C，物品个数N，存储是否放入背包x[]
输出：x[]
s1: for (inti =1 to n-1)
s2: if (m[i][c]==m[i+1][c]) x[i]=0;
s3: else {x[i]=1,c-=w[i]}
s4: end for
s5: x[n]=(m[n][c])?1:0

(1) 实验代码

    public class 背包01 {        /*         * n种物品，物品i的重量是Wi，价值为Vi，背包容量为C，存在x（1,2,3,4,5….n）属于{0,1}。          设最优子问题的最优值为m(i,j)，即背包容量为j，可以选物品为i,i+1…n。         ① 当i=n时：如果j<Wi,m(i,j)=m（n，j）=0.                    如果j>Wi,m(i,j)=m(n,j)=Vn.         ② 当0<i<n时，如果j<Wi,,m(i,j)=m(i+1,j)                     如果j>Wi  ,  m(i,j)=Vi+m(i+1,j-Wi)                                  m(i,j)=(m+1,j)                       m(i,j)=max{m(i+1,j-Wi)+Vi,m(i+1,j)}          */        static void funA(int n,int c,int[][] m,int[] w,int[] v){            int jmax=Math.min(w[n]-1, c);//获取最小值            for (int j=0;j<=jmax;j++)//j<Wi,m(i,j)=m（n，j）=0                m[n][j]=0;            for (int j=w[n];j<=c;j++)//j>Wi,m(i,j)=m(n,j)=Vn.                m[n][j]=v[n];            for (int i=n-1;i>1;i--){                jmax=Math.min(w[i]-1,c);                for (int j=0;j<=jmax;j++)//j<Wi,,m(i,j)=m(i+1,j)                    m[i][j]=m[i+1][j];                for (int j=w[i];j<=c;j++)//m(i,j)=max{m(i+1,j-Wi)+Vi,m(i+1,j)}                    m[i][j]=Math.max(m[i+1][j], m[i+1][j-w[i]]+v[i]);            }            m[1][c]=m[2][c];//第一次物品的最优值=第二个物品的最优值            if (c>=w[1])//获取第一个物品和第二个物品的最优值                m[1][c]=Math.max(m[1][c], m[2][c-w[1]]+v[1]);        }        static void funB(int m[][],int[] w,int c,int n,int[] x){            for (int i=1;i<n;i++)                if (m[i][c]==m[i+1][c])//如果相邻两个物品的最优值相等，则表示该物品不用放入背包                    x[i]=0;//不放入表示0                else {//如果不等，放入背包，然后减去重量                    x[i]=1;                    c-=w[i];                }            if (m[n][c]==m[n-1][c])//判断最后一个                x[n]=0;            else                x[n]=1;        }        public static void main(String[] args) {            int n=5,c=10;            int[] w={0,6,4,8,8,4};            int[] v={0,8,4,8,10,2};            int[][] m=new int[n+1][c+1];            int[] x=new int[n+1];            int sum=0;            funA(n, c, m, w, v);            funB(m, w, c, n, x);            for (int i=1;i<=n;i++){                sum+=x[i]*v[i];            }            System.out.println("最优值为"+sum);        }    }

(3) 算法运行结果
计算最优值的时间复杂度O(nc)
构造最优解的时间复杂度O(n)
(4) 体会

0-1背包同样都是考虑多种情况。分别为j>=Wi和j<Wi的情况。01背包的状态转换方程 f[i,j] = Max{ f[i+1,j-Wi]+Vi( j >= Wi ),  f[i+1,j] }。