hdu1211（模的逆元、扩展欧几里得）

来源：互联网发布：python turtle库安装编辑：程序博客网时间：2024/05/18 10:18

eg：解二元不定方程ax+by+c=0

1）当a=0或b=0时，方程的解确定

2）c不是gcd的倍数时，方程无解

故只考虑ab！=0且c|gcd(a,b)的情况

1、扩展欧几里得算法

找出一对整数(x,y)，使得ax+by=gcd(a,b)。例如，gcd(6,15)=3，6*3-15*1=3，其中x=3，y=-1。这个方程还有其他解，如x=-2，y=1。

2、公式推导

已知a,b的一组解x，y使得 ax+by=gcd(a,b)

根据gcd，下一步a'=b,b'=a%b

求得a'x'+b'y'=gcd(a',b')

即bx'+(a%b)y'=gcd(a'b')=gcd(a,b)

bx'+(a-⌊a/b⌋*b)y'=gcd(a,b)，ay'+b(x'-⌊a/b⌋y')=gcd(a,b)展开得对比原式ax+by=gcd(a,b)

得x=y'，y=x'-⌊a/b⌋y'

上述过程翻译成c程序得：

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){    if(b==0)    {        x=1;        y=0;        return a;    }    int r=exgcd(b,a%b,x,y);    int t=x;    x=y;    y=t-a/b*y;    return r;}

更加简练的写法：

void gcd(int a, int b, int& d, int& x, int& y) {     if(!b){ d = a; x = 1; y = 0; }     else{ gcd(b, a%b, d, y, x); y -= x*(a/b); }}

3、扩展欧几里德算法求模的逆元

ax=1modb

等价于ax-by=1;

则用扩展欧几里得算法gcd(a,b)=1为方程的解

代码如下：

!!!要注意的就是exgcd求出来的d可能是负数，题目要求的是正数

#include <stdio.h>int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){    if(b==0){        x=1;y=0;        return a;    }    int r=exgcd(b,a%b,x,y);    int t=x;    x=y;    y=t-a/b*y;    return r;}int pow_mod(int a,int b,int c){    int t=a%c, ans=1%c;    while(b){        if(b&1){            ans=ans*t%c;            b--;        }        b=b>>1;        t=t*t%c;    }    return ans;}int decrypt(int c,int d,int n){    int m=pow_mod(c,d,n);    return m;}int main(){    //freopen("in.txt","r",stdin);    int p, q, e, d, f ,l, n, x, y, c;    while(scanf("%d %d %d %d",&p,&q,&e,&l)!=EOF){        n=p*q;        f=(p-1)*(q-1);        exgcd(e,f,x,y);        d=((x%f)+f)%f;//d是正数        for(int i=0;i<l;i++){            scanf("%d",&c);            printf("%c",decrypt(c,d,n));        }        printf("\n");    }    return 0;}

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