Linear Algebra - Lesson 24. 马尔可夫矩阵,傅里叶级数

Schedule

• Markov matrices
• Steady State
• Fourier Series Projections

Markov matrices - 马尔可夫矩阵

马尔可夫矩阵可以举这样的例子:A=⎡⎣⎢⎢0.10.20.70.010.9900.30.30.4⎤⎦⎥⎥

两条性质:
1. 每个元素大于等于0 - 马尔可夫矩阵和概率思想有关联,而概率值是非负的;
2. 每一列元素相加和为1 - 实际上,马尔可夫矩阵的幂仍是马尔可夫矩阵.
下面将会降到,矩阵存在有一个特征值为1,矩阵每列的和为1的性质保证了1是矩阵的一个特征值,从而可以在不计算A−λI的情况下计算出其他特征值.

马尔科夫矩阵的特征值性质是:
1. λ=1是一个特征值;
2. 其他特征值的绝对值小于1;
从而可以推导出,在λ=1的情况下,其他特征值的绝对值均小于1,从而在k→∞的情况下,cnλknxn→0(n≠1),所以uk最终的值将等于c1x1,这也就是uk的稳态.
uk=Aku0=c1λk1x1+c2λk2x2+⋯+cnλknxn=c1x1

接着上面的例子,因为1是一个特征值,所以
A−1I=⎡⎣⎢⎢−0.90.20.70.01−0.0100.30.3−0.6⎤⎦⎥⎥
这个矩阵将是奇异的,因为特征值就是那些对角线元素减去后使得矩阵奇异的数.
这个矩阵的特zing是每列和相加起来为0. 这就说明A-I是奇异的,因为行向量线性相关,而且(1,1,1)在n(A^T),x_1在n(A)中. (????)

有两三种方法可以证明.
例如,可以通过行列式为0来证明, 也可以证明三个行向量是线性相关的(行1行2加到行3会得到全0行,因此航向量线性相关).

另一个有用的小tip时A的特征值和A^T的特征值相等.这是因为矩阵的行列式等于矩阵的转置的行列式,这就说明相同的lanmda值也是A的转置的特征值,只不过对应的特征向量不同.

马尔科夫的应用
uk+1=Auk,其中A为马尔科夫矩阵.
举个加州和麻绳的人数问题,矩阵A表示一年后发生了人口的歉意.矩阵将是2x2的,并且是肺腑的,因为人数是正的,并且和为1表示考虑的是总人数,元素是人口歉意的概率,将处在0和1之间.
[uCaluMass]t=k+1=[0.90.10.20.8][uCaluMass]t=k
最终的稳态会是什么样?
[uCaluMass]0=[01000]
经过一年,
[uCaluMass]1=[200800]
经过100年,也许将会达到一个稳态.
对A=[0.90.10.20.8]进行求解特征值和特征向量, 根据之前的性质,马尔科夫矩阵有一个特征值为λ1=1,从而解除A的另一个特征值是λ2=0.7. 解除特征向量分别为x1=[21],x2=[−11]
从而推到出
u0=[01000]=c1[21]+c2[−11]→c1=10003,c2=20003
uk=c11k[21]+c2(0.7)k[−11]→100031k[21]+20003(0.7)k[−11]
很多应用问题中,人们都喜欢使用航向量,如果使用航向量来左乘矩阵,那么我们就会用到这个矩阵的转置,那样航向量加起来为1.

Fourier Series Projections

讨论projections with orthonormal basis q_1,…q_n.
假设q_1,…q_n是n维空间中的一组基,任意向量v都可以利用q_1,…q_n来组合构建v=x1q1+....

这足记是标准正交的,所以可以通过将每一项和对应的向量做内积来求得对应系数,如下:
qT1v=x1qT1q1+x2qT1q2+⋯+xnqT1qn=x1qT1q1=x1
可以看出,如果有一组标准正交基,则每个基向量的系数很容易就能求得.
[q1q2⋯qn]⎡⎣⎢⎢⎢⎢x1x2⋮xn⎤⎦⎥⎥⎥⎥=v→Qx=v
因为Q中是标准正交基,所以QT=Q−1,从而得出x=Q−1v=QTv

对于傅里叶级数(Fourier Series)来说,已知函数f(x)=a01+a1cosx+b1sinx+a2cos2x+b2sin2x+⋯
可以将f(x)看做v,将正交函数cosx,sinx,cos2x⋯ 看做正交向量q_1,q_2,\cdots,

向量的正交意味着向量的点积为0(VTW=v1w1+v2w2+⋯+vnwn=0),但是函数的点积意味着什么?
对于函数来说,给定两个函数,记为f和g,向量含有n个元素而函数是连续的,所以函数的点积是fTg=\积分f(x)g(x)dx 函数周期为2pi,所以积分为0.