Matrix-Tree定理

来源：互联网发布：手机直播平台源码编辑：程序博客网时间：2024/05/12 14:22

定理描述:

Matrix-Tree定理(Kirchhoff矩阵-树定理)是解决生成树计数问题最有力的武器之一。首先要明确几个概念:

1.G的度数矩阵D[G]是一个n*n的矩阵，并且满足:当i!=j时，d[i][j]=0，当i=j时，d[i][i]等于v[i]的度数。

2.G的邻接矩阵A[G]也是一个n*n的矩阵，并且满足:如果v[i],v[j]之间有直接边连接，则a[i][j]=1，否则为0.

我们定义的Kirchhoff矩阵(也称为拉普拉斯算子)C[G]=D[G]-A[G]，则Matrix-Tree定理可描述为:图G的所有不同的生成数的个数等于其Krichhoff矩阵C[G]任何一个n-1阶主子式的行列式的绝对值。所谓n-1阶主子式，就是对r(1<=r<=n)，将C[G]的第r行、第r列同时去掉后得到的新矩阵，用Cr[G]表示。

具体证明见维基百科或者国家集训队论文生成树的计数及其应用

举个栗子，SPOJ104

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>#include <cmath>using namespace std;const int maxn =13;typedef long long LL;int degree[maxn];LL C[maxn][maxn];LL det(LL a[][maxn],int n){    LL ret=1;    for(int i=0;i<n;i++){        for(int j=i+1;j<n;j++){            while(a[j][i]){                LL t=a[i][i]/a[j][i];                for(int k=i;k<n;k++){                    a[i][k]=a[i][k]-a[j][k]*t;                }                for(int k=i;k<n;k++){                    swap(a[i][k],a[j][k]);                }                ret=-ret;            }        }        if(a[i][i]==0){            return 0;        }        ret=ret*a[i][i];    }    if(ret<0){        ret=-ret;    }    return ret;}int main(){    int t,n,m;    scanf("%d",&t);    while(t--){        memset(degree,0,sizeof(degree));        memset(C,0,sizeof(C));        scanf("%d%d",&n,&m);        while(m--){            int u,v;            scanf("%d%d",&u,&v);            u--;v--;            C[u][v]=C[v][u]=-1;            degree[v]++;            degree[u]++;        }        for(int i=0;i<n;i++){            C[i][i]=degree[i];        }        printf("%lld\n",det(C,n-1));    }    return 0;}

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