算法概率8.12 k生成树问题

8.12 k-生成树问题

输入：无向图G=(V,E)，

输出：G的一个生成树，其中所有点度数不超过k——如果这样的树存在。 

给定K大于等于2。
题目a：k-生成树问题是一个搜索问题。 
题目b：k-生成树问题是NP-完全的。（提示：由k=2开始，考虑与Rudrata路径问题的关联）

a:验证任意给定解S是否是k生成树的过程，只需要用图搜索算法对S进行搜索，如果S中包含所有顶点、不包含环、且每个点度数不超过k，则S是k生成树。显然使用图搜索的算法能在多项式时间内解决，所以k-生成树问题是一个搜索问题，同时也说明这是一个NP问题。

b:由于k-生成树是一个NP问题，已证。所以要证它是一个NP-Complete问题只需找到一个NP-Complete的问题可以归约到K-生成树问题。根据提示，可以将Rudrata路径问题归约到k-生成树问题。

当k=2时，k-生成树问题就是要找到一棵包含图中所有点且每点度数不大于2的生成树，显然就是一条Rudrata路径，所以寻找Rudrata路径的问题其实就是一个特殊的k-生成树问题，其中k=2。而k>2时，只要找到一棵2-生成树，就已经找到了k-生成树。所以对每个图寻找Rudrata路径问题都可以通过寻找k-生成树的算法来解决。也就是说Rudrata路径问题可以归约为k-生成树问题。综上得证k-生成树问题是NP-完全的。