[算法概论 8.12 k-生成树问题]

一、题目

输入：无向图G：=（V,E）

输出：G的一个生成树，其中所有节点度数都不超过K-如果该树存在

题目a：k-生成树问题是一个搜索问题。 
题目b：k-生成树问题是NP-完全的。（提示：由k=2开始，考虑与Rudrata路径问题的关联）

二、证明

a.给出一个G的待确定生成树，想要判断该生成树是否为满足要求的k-生成树，只需要遍历每个节点去找每个节点的度数是否小于等于K，且这个判定过程的时间复杂度为O(V)。该过程可以表明该问题是一个搜索问题。

b.首先要验证所找的生成树是否符合要求，只需要遍历每个点，检查其度数即可，时间复杂度为O（V+E），为多项式时间复杂度，因此k-生成树问题为NP问题。使用Rudrata归约，当k=2时，所要寻找的生成树其实就是一条经过所有顶点的路径，只不过相比Rudrata路径而言，这个生成树是没有回路的。那么Rudrata环路问题就可以归约为寻找一个k=2的生成树，在找到这个生成树之后，加上一条边使生成树成为一个环路，就是要寻找的Rudrata环路。因此，k-生成树问题为NP完全问题。