二叉查找树解析及其C++实现

介绍

二叉查找树，又称二叉搜索树、有序二叉树、排序二叉树。

它是特殊的二叉树，对于二叉树，假设x为二叉树中的任意一个结点，x结点包含关键字key，结点x的key值记为key[ x ]。如果y是x的左子树中的一个结点，则key[ y ] <= key[ x ]；如果y是x的右子树中的一个结点，则key[ y ] >= key[ x ]；那么，这棵树就是二叉查找树，如下图所示：

二叉查找树具有以下性质：
1）若任意结点的左子树非空，则左子树上所有结点的值均小于它的根节点的值

2）若任意结点的右子树非空，则右子树上所有结点的值均大于它的根节点的值

3）任意结点的左、右子树叶分别为二叉查找树

4）没有键值相等的结点

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算法实现

结点和二叉查找树的定义

template<class T>class BSTNode{public:T key;// 关键字（键值）BSTNode *left;// 左孩子BSTNode *right;// 右孩子BSTNode *parent;// 父结点BSTNode(T value, BSTNode *p, BSTNode *l, BSTNode *r):key(value),parent(p),left(l),right(r) {} };template<class T>class BSTree{private:BSTNode<T> *root;// 根结点 public:BSTree();~BSTree();// 前序遍历void preOrder();// 中序遍历void inOrder();// 后序遍历void postOrder();// （递归实现）查找二叉树中键值为key的结点BSTNode<T>* search(T key);// （非递归实现） 查找二叉树中键值为key的结点BSTNode<T>* iterativeSearch(T key);// 查找最小结点（返回键值）T minimum(); // 查找最大结点（返回键值）T maximum();// 找结点（x）的后继结点。即查找二叉树中键值大于该结点的最小结点BSTNode<T>* successor(BSTNode<T> *x);// 找结点（x）的前驱结点。即查找二叉树中键值小于该结点的最大结点BSTNode<T>* predecessor(BSTNode<T> *x);// 将键值为key的结点插入到二叉树中void insert(T key);// 删除键值为key的结点void remove(T key);// 销毁二叉树void destroy();// 打印二叉树void print();private:// 重载函数，提供内部接口// 前序遍历void preOrder(BSTNode<T> *tree) const;// 中序遍历void inOrder(BSTNode<T> *tree) const;// 后序遍历void postOrder(BSTNode<T> *tree) const;// （递归实现）查找二叉树中键值为key的结点BSTNode<T>* search(BSTNode<T> *x, T key) const;// （非递归实现） 查找二叉树中键值为key的结点BSTNode<T>* iterativeSearch(BSTNode<T> *x, T key) const;// 查找最小结点（返回键值）BSTNode<T>* minimum(BSTNode<T> *tree); // 查找最大结点（返回键值）BSTNode<T>* maximum(BSTNode<T> *tree);// 将结点z插入到二叉树tree中 void insert(BSTNode<T>* &tree, BSTNode<T> *z);// 删除二叉树中的结点z，并返回该结点 BSTNode<T>* remove(BSTNode<T>* &tree, BSTNode<T> *z);// 销毁二叉树void destroy(BSTNode<T>* &tree);// 打印二叉树void print(BSTNode<T>* &tree, T key, int direction);};

遍历

前序遍历

template<class T>void BSTree<T>::preOrder(BSTNode<T> *tree) const{if(tree!=NULL){cout<<tree->key<<" ";preOrder(tree->left);preOrder(tree->right);} }template<class T>void BSTree<T>::preOrder(){preOrder(root);}

中序遍历

template<class T>void BSTree<T>::inOrder(BSTNode<T> *tree) const{if(tree!=NULL){inOrder(tree->left);cout<<tree->key<<" ";inOrder(tree->right);} }template<class T>void BSTree<T>::inOrder(){inOrder(root);}

后序遍历

template<class T>void BSTree<T>::postOrder(BSTNode<T> *tree) const{if(tree!=NULL){postOrder(tree->left);postOrder(tree->right);cout<<tree->key<<" ";} }template<class T>void BSTree<T>::postOrder(){postOrder(root);}

查找

递归方式进行查找

template<class T>BSTNode<T>* BSTree<T>::search(BSTNode<T>* x, T key) const{if(x==NULL || x->key==key)return x;if(key<x->key)search(x->left, key);elsesearch(x->right, key);}template<class T>BSTNode<T>* BSTree<T>::search(T key){search(root, key);}

非递归方式进行查找

template<class T>BSTNode<T>* BSTree<T>::interativeSearch(BSTNode<T>* x, T key) const{while(x!=NULL && x->key!=key){if(key<x->key)x = x->left;elsex = x->right;}return x;}template<class T>BSTNode<T>* BSTree<T>::interativeSearch(T key){interativeSearch(root, key);}

最大值和最小值

查找最大值

template<class T>BSTNode<T>*  BSTree<T>::maximum(BSTNode<T> *tree){if(tree==NULL)return NULL;while(tree->right!=NULL)tree = tree->right;return tree;}template<class T>T BSTree<T>::maximum(){BSTNode<T> *p = maximum(root);if(p!=NULL)return p->key;return (T)NULL;}

查找最小值

template<class T>BSTNode<T>*  BSTree<T>::minimum(BSTNode<T> *tree){if(tree==NULL)return NULL;while(tree->left!=NULL)tree = tree->left;return tree;}template<class T>T BSTree<T>::minimum(){BSTNode<T> *p = minimum(root);if(p!=NULL)return p->key;return (T)NULL;}

前驱和后继

查找前驱

template<class T>BSTNode<T>* BSTree<T>::predecessor(BSTNode<T> *x){// 如果x存在左孩子，则"x的前驱结点"为 "以其左孩子为根的子树的最大结点"。if(x->left!=NULL)return maximum(x->left);// 如果x没有左孩子。则x有以下两种可能：    // (1) x是"一个右孩子"，则"x的前驱结点"为 "它的父结点"。    // (2) x是"一个左孩子"，则查找"x的最低的父结点，并且该父结点要具有右孩子"，找到的这个"最低的父结点"就是"x的前驱结点"。    BSTNode<T> *p = x->parent;    while(p!=NULL && x==p->left)    {    x = p;    p = p->parent;}return p;}

查找后继

template<class T>BSTNode<T>* BSTree<T>::successor(BSTNode<T> *x){// 如果x存在右孩子，则"x的后继结点"为 "以其右孩子为根的子树的最小结点"。if(x->right!=NULL)return minimum(x->right);// 如果x没有右孩子。则x有以下两种可能：    // (1) x是"一个左孩子"，则"x的后继结点"为 "它的父结点"。    // (2) x是"一个右孩子"，则查找"x的最低的父结点，并且该父结点要具有左孩子"，找到的这个"最低的父结点"就是"x的后继结点"。    BSTNode<T> *p = x->parent;    while(p!=NULL && x==p->right)    {    x = p;    p = p->parent;}return p;}

插入

template<class T>void BSTree<T>::insert(BSTNode<T>* &tree, BSTNode<T> *z){BSTNode<T> *y = NULL;BSTNode<T> *x = tree;// 查找z的插入位置while(x!=NULL){y = x;if(z->key < x->key)x = x->left;else// else if(z->key > x->key)x = x->right;//若禁止插入相同键值//else//{//free(z)；// 释放之前分配的结点 //return;//}}z->parent = y;if(y==NULL)tree = z;else if(z->key<y->key)y->left = z;elsey->right = z;}template<class T>void BSTree<T>::insert(T key){BSTNode<T> *z = NULL;// 如果新建结点失败，则返回if((z=new BSTNode<T>(key,NULL,NULL,NULL))==NULL)return;insert(root,z); }

删除

template<class T>BSTNode<T>* BSTree<T>::remove(BSTNode<T>* &tree, BSTNode<T> *z){BSTNode<T> *x = NULL;BSTNode<T> *y = NULL;if(z->left==NULL || z->right==NULL)y = z;elsey = successor(z);if(y->left!=NULL)x = y->left;elsex = y->right;if(x!=NULL)x->parent = y->parent;if(y->parent==NULL)tree = x;else if(y==y->parent->left)y->parent->left = x;elsey->parent->right = x;if(y!=z)z->key = y->key;return y;}template<class T>void BSTree<T>::remove(T key){BSTNode<T> *z, *node;if((z=search(root,key))!=NULL)if((node=remove(root,z))!=NULL)delete node;}

打印

template<class T>void BSTree<T>::print(BSTNode<T> *tree, T key, int direction){if(tree!=NULL){if(direction==0)cout<<setw(2)<<tree->key<<"is root"<<endl;elsecout<<setw(2)<<tree->key<<"is"<<setw(2)<<key<<"'s"<<setw(12)<<(direction==1 ? "right child":"left child")<<endl;print(tree->left,tree->key,-1);print(tree->right,tree->key,1);}}template<class T>void BSTree<T>::print(){if(root!=NULL)print(root,root->key,0);}

销毁

template<class T>void BSTree<T>::destroy(BSTNode<T> *&tree){if(tree==NULL)return ;if(tree->left!=NULL)return destroy(tree->left);if(tree->right!=NULL)return destroy(tree->right);delete tree;tree=NULL;}template<class T>void BSTree<T>::destroy(){destroy(root);}

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二叉查找树完整实现：BSTree.h

#ifndef BINARY_SEARCH_TREE#define BINARY_SEARCH_TREE#include<iomanip>#include<iostream>using namespace std;template<class T>class BSTNode{public:T key;// 关键字（键值）BSTNode *left;// 左孩子BSTNode *right;// 右孩子BSTNode *parent;// 父结点BSTNode(T value, BSTNode *p, BSTNode *l, BSTNode *r):key(value),parent(p),left(l),right(r) {} };template<class T>class BSTree{private:BSTNode<T> *root;// 根结点 public:BSTree() {};~BSTree() {};// 前序遍历void preOrder();// 中序遍历void inOrder();// 后序遍历void postOrder();// （递归实现）查找二叉树中键值为key的结点BSTNode<T>* search(T key);// （非递归实现） 查找二叉树中键值为key的结点BSTNode<T>* iterativeSearch(T key);// 查找最小结点（返回键值）T minimum(); // 查找最大结点（返回键值）T maximum();// 找结点（x）的后继结点。即查找二叉树中键值大于该结点的最小结点BSTNode<T>* successor(BSTNode<T> *x);// 找结点（x）的前驱结点。即查找二叉树中键值小于该结点的最大结点BSTNode<T>* predecessor(BSTNode<T> *x);// 将键值为key的结点插入到二叉树中void insert(T key);// 删除键值为key的结点void remove(T key);// 销毁二叉树void destroy();// 打印二叉树void print();private:// 重载函数，提供内部接口// 前序遍历void preOrder(BSTNode<T> *tree) const;// 中序遍历void inOrder(BSTNode<T> *tree) const;// 后序遍历void postOrder(BSTNode<T> *tree) const;// （递归实现）查找二叉树中键值为key的结点BSTNode<T>* search(BSTNode<T> *x, T key) const;// （非递归实现） 查找二叉树中键值为key的结点BSTNode<T>* iterativeSearch(BSTNode<T> *x, T key) const;// 查找最小结点（返回键值）BSTNode<T>* minimum(BSTNode<T> *tree); // 查找最大结点（返回键值）BSTNode<T>* maximum(BSTNode<T> *tree);// 将结点z插入到二叉树tree中 void insert(BSTNode<T>* &tree, BSTNode<T> *z);// 删除二叉树中的结点z，并返回该结点 BSTNode<T>* remove(BSTNode<T>* &tree, BSTNode<T> *z);// 销毁二叉树void destroy(BSTNode<T>* &tree);// 打印二叉树void print(BSTNode<T>* &tree, T key, int direction);};template<class T>BSTree<T>::BSTree(): root(NULL){ }template<class T>BSTree<T>::~BSTree(){    destroy(root);}template<class T>void BSTree<T>::preOrder(BSTNode<T> *tree) const{if(tree!=NULL){cout<<tree->key<<" ";preOrder(tree->left);preOrder(tree->right);} }template<class T>void BSTree<T>::preOrder(){preOrder(root);}template<class T>void BSTree<T>::inOrder(BSTNode<T> *tree) const{if(tree!=NULL){inOrder(tree->left);cout<<tree->key<<" ";inOrder(tree->right);} }template<class T>void BSTree<T>::inOrder(){inOrder(root);}template<class T>void BSTree<T>::postOrder(BSTNode<T> *tree) const{if(tree!=NULL){postOrder(tree->left);postOrder(tree->right);cout<<tree->key<<" ";} }template<class T>void BSTree<T>::postOrder(){postOrder(root);}template<class T>BSTNode<T>* BSTree<T>::search(BSTNode<T>* x, T key) const{if(x==NULL || x->key==key)return x;if(key<x->key)return search(x->left, key);elsereturn search(x->right, key);}template<class T>BSTNode<T>* BSTree<T>::search(T key){search(root, key);}template<class T>BSTNode<T>* BSTree<T>::iterativeSearch(BSTNode<T>* x, T key) const{while(x!=NULL && x->key!=key){if(key<x->key)x = x->left;elsex = x->right;}return x;}template<class T>BSTNode<T>* BSTree<T>::iterativeSearch(T key){iterativeSearch(root, key);}template<class T>BSTNode<T>*  BSTree<T>::maximum(BSTNode<T> *tree){if(tree==NULL)return NULL;while(tree->right!=NULL)tree = tree->right;return tree;}template<class T>T BSTree<T>::maximum(){BSTNode<T> *p = maximum(root);if(p!=NULL)return p->key;return (T)NULL;}template<class T>BSTNode<T>*  BSTree<T>::minimum(BSTNode<T> *tree){if(tree==NULL)return NULL;while(tree->left!=NULL)tree = tree->left;return tree;}template<class T>T BSTree<T>::minimum(){BSTNode<T> *p = minimum(root);if(p!=NULL)return p->key;return (T)NULL;}template<class T>BSTNode<T>* BSTree<T>::predecessor(BSTNode<T> *x){// 如果x存在左孩子，则"x的前驱结点"为 "以其左孩子为根的子树的最大结点"。if(x->left!=NULL)return maximum(x->left);// 如果x没有左孩子。则x有以下两种可能：    // (1) x是"一个右孩子"，则"x的前驱结点"为 "它的父结点"。    // (2) x是"一个左孩子"，则查找"x的最低的父结点，并且该父结点要具有右孩子"，找到的这个"最低的父结点"就是"x的前驱结点"。    BSTNode<T> *p = x->parent;    while(p!=NULL && x==p->left)    {    x = p;    p = p->parent;}return p;}template<class T>BSTNode<T>* BSTree<T>::successor(BSTNode<T> *x){// 如果x存在右孩子，则"x的后继结点"为 "以其右孩子为根的子树的最小结点"。if(x->right!=NULL)return minimum(x->right);// 如果x没有右孩子。则x有以下两种可能：    // (1) x是"一个左孩子"，则"x的后继结点"为 "它的父结点"。    // (2) x是"一个右孩子"，则查找"x的最低的父结点，并且该父结点要具有左孩子"，找到的这个"最低的父结点"就是"x的后继结点"。    BSTNode<T> *p = x->parent;    while(p!=NULL && x==p->right)    {    x = p;    p = p->parent;}return p;}template<class T>void BSTree<T>::insert(BSTNode<T>* &tree, BSTNode<T> *z){BSTNode<T> *y = NULL;BSTNode<T> *x = tree;// 查找z的插入位置while(x!=NULL){y = x;if(z->key < x->key)x = x->left;else// else if(z->key > x->key)x = x->right;//若禁止插入相同键值//else//{//free(z)；// 释放之前分配的结点 //return;//}}z->parent = y;if(y==NULL)tree = z;else if(z->key<y->key)y->left = z;elsey->right = z;}template<class T>void BSTree<T>::insert(T key){BSTNode<T> *z = NULL;// 如果新建结点失败，则返回if((z=new BSTNode<T>(key,NULL,NULL,NULL))==NULL)return;insert(root,z); }template<class T>BSTNode<T>* BSTree<T>::remove(BSTNode<T>* &tree, BSTNode<T> *z){BSTNode<T> *x = NULL;BSTNode<T> *y = NULL;if(z->left==NULL || z->right==NULL)y = z;elsey = successor(z);if(y->left!=NULL)x = y->left;elsex = y->right;if(x!=NULL)x->parent = y->parent;if(y->parent==NULL)tree = x;else if(y==y->parent->left)y->parent->left = x;elsey->parent->right = x;if(y!=z)z->key = y->key;return y;}template<class T>void BSTree<T>::remove(T key){BSTNode<T> *z, *node;if((z=search(root,key))!=NULL)if((node=remove(root,z))!=NULL)delete node;}template<class T>void BSTree<T>::print(BSTNode<T> *&tree, T key, int direction){if(tree!=NULL){if(direction==0)cout<<setw(2)<<tree->key<<"is root"<<endl;elsecout<<setw(2)<<tree->key<<"is"<<setw(2)<<key<<"'s"<<setw(12)<<(direction==1 ? "right child":"left child")<<endl;print(tree->left,tree->key,-1);print(tree->right,tree->key,1);}}template<class T>void BSTree<T>::print(){if(root!=NULL)print(root,root->key,0);}template<class T>void BSTree<T>::destroy(BSTNode<T> *&tree){if(tree==NULL)return ;if(tree->left!=NULL)return destroy(tree->left);if(tree->right!=NULL)return destroy(tree->right);delete tree;tree=NULL;}template<class T>void BSTree<T>::destroy(){destroy(root);}#endif

测试代码：BSTreeTest.cpp

#include<iostream>#include "BSTree.h"using namespace std;static int arr[] = {1,5,4,3,2,6};int main(){int i,len;BSTree<int> *tree = new BSTree<int>();cout<<"依次添加：";len = sizeof(arr)/sizeof(arr[0]);for(i=0;i<len;++i){cout<<arr[i]<<" ";tree->insert(arr[i]);}cout<<"\n前序遍历：";tree->preOrder();cout<<"\n中序遍历：";tree->inOrder();cout<<"\n后序遍历：";tree->postOrder();cout<<endl;cout<<"最小值："<<tree->minimum()<<endl;cout<<"最大值："<<tree->maximum()<<endl;cout<<"树的详细信息："<<endl;tree->print();cout<<" \n删除根节点："<<arr[3];tree->remove(arr[3]);cout<<"\n中序遍历：";tree->inOrder();cout<<endl;// 销毁二叉树tree->destroy();return 0; }

参考资料：

感谢作者如果天空不死 ： 戳我进原博