OpenJudge 简单的整数划分问题(递归)
来源:互联网 发布:台立深孔钻电脑编程 编辑:程序博客网 时间:2024/05/16 19:53
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- 描述
将正整数n 表示成一系列正整数之和,n=n1+n2+…+nk, 其中n1>=n2>=…>=nk>=1 ,k>=1 。
正整数n 的这种表示称为正整数n 的划分。正整数n 的不同的划分个数称为正整数n 的划分数。- 输入
- 标准的输入包含若干组测试数据。每组测试数据是一个整数N(0 < N <= 50)。
- 输出
- 对于每组测试数据,输出N的划分数。
- 样例输入
5
- 样例输出
7
- 提示
5, 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1, 1+1+1+1+1
思路:
根据n和m的关系,考虑以下几种情况:
(1)当n=1时,不论m的值为多少(m>0),只有一种划分即{1};
(2)当m=1时,不论n的值为多少,只有一种划分即n个1,{1,1,1,...,1};
(3)当n=m时,根据划分中是否包含n,可以分为两种情况:
(a)划分中包含n的情况,只有一个即{n};
(b)划分中不包含n的情况,这时划分中最大的数字也一定比n小,即n的所有(n-1)划分。
因此 f(n,n) =1 + f(n,n-1);
(4)当n<m时,由于划分中不可能出现负数,因此就相当于f(n,n);
(5)但n>m时,根据划分中是否包含最大值m,可以分为两种情况:
(a)划分中包含m的情况,即{m, {x1,x2,...xi}}, 其中{x1,x2,... xi} 的和为n-m,因此这情况下
为f(n-m,m)
(b)划分中不包含m的情况,则划分中所有值都比m小,即n的(m-1)划分,个数为f(n,m-1);
因此 f(n, m) = f(n-m, m)+f(n,m-1);
综上所述:
f(n, m)= 1; (n=1 or m=1)
f(n,m) = f(n, n); (n<m)
1+ f(n, m-1); (n=m)
f(n-m,m)+f(n,m-1); (n>m)代码:
#include<iostream>using namespace std;int sp(int n,int m) {if(n==1||m==1) return 1;else if(n<m) return sp(n,n);else if(n==m) return sp(n,n-1)+1;else return sp(n,m-1)+sp(n-m,m);}int main() {int n;while(cin>>n) {cout<<sp(n,n)<<endl;}return 0;}
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