蓝桥杯波动数列（01背包方案数）

来源：互联网发布：南风知我意gl百度云编辑：程序博客网时间：2024/05/17 22:20

问题描述
　　观察这个数列：
　　1 3 0 2 -1 1 -2 ...

　　这个数列中后一项总是比前一项增加2或者减少3。

　　栋栋对这种数列很好奇，他想知道长度为 n 和为 s 而且后一项总是比前一项增加a或者减少b的整数数列可能有多少种呢？
输入格式
　　输入的第一行包含四个整数 n s a b，含义如前面说述。
输出格式
　　输出一行，包含一个整数，表示满足条件的方案数。由于这个数很大，请输出方案数除以100000007的余数。
样例输入
4 10 2 3
样例输出
2
样例说明
　　这两个数列分别是2 4 1 3和7 4 1 -2。
数据规模和约定
　　对于10%的数据，1<=n<=5，0<=s<=5，1<=a,b<=5；
　　对于30%的数据，1<=n<=30，0<=s<=30，1<=a,b<=30；
　　对于50%的数据，1<=n<=50，0<=s<=50，1<=a,b<=50；
　　对于70%的数据，1<=n<=100，0<=s<=500，1<=a, b<=50；
　　对于100%的数据，1<=n<=1000，-1,000,000,000<=s<=1,000,000,000，1<=a, b<=1,000,000。
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

深度搜索算法：

这题较为容易的想法是用深度搜索来做，显然这种难度的题目用深搜是要超时的。果不其然，测试了一遍只能拿到20%。但是能在比赛最后一点时间拿到这些分也够了。而且，这题动态规划还是有点难度。

既然我测试过了深搜就一起先简单来看一下深搜的算法吧。这题的深搜就像一棵二叉树，从每个节点向下都会有两个分支，一个是加a，一个是减b。需要考虑的是根节点的大小，也就是第一个数的大小。第一个数没有明确告诉那么必然是在一个区间内浮动无法确定，需要一个个测试是否符合要求然后确定。注意到输入的数据有4个，第一个数的大小的区间可以用这四个数表示出来，可以确定最大值和最小值。最大值为s+n*b，最小值为s-n*a。对这个区间内的每个整数做一遍深搜，统计满足条件的值可得答案。

这部分比较好理解，看看代码：

#include<iostream>using namespace std;int n,s,a,b;int num;//cur是数列当前项的值，all是数列累计值的总和，id是数列的长度 void dfn(int cur,int all,int id){if(id ==n){if(all == s){num ++;   //统计方案数 num = num % 100000007;return ;}else{return;}}dfn(cur+a,all+cur+a,id+1); //下一项加a的情况 dfn(cur-b,all+cur-b,id+1);  //下一项减b的情况}int main(){long long i,total; cin >> n >> s >> a >> b;total = s+n*b;//第一个数可能取值的最大值 for(i=s-n*a;i<=total;i++){dfn(i,i,1);//对每个符合要求的数列的首项做一次深搜 }cout << num;return 0;}

动态规划算法：

简单介绍深搜后重点来了，这题用动态规划（dp）解才是正解。在讲这题之前首先要回顾一下01背包问题中统计方案数的问题。

有容量为c的背包要装入体积为1~n的物品，每种物品各一个，求恰好将背包装满的方案数。

我们用二维数组Bo[i][j]来存储背包容量递增，物品按体积1~n的顺序递增时方案数的情况。i表示有体积为0~i的物品各一个，j表示背包的容量为j。首先要初始化当已有的物品体积数量为0，也就是相当于只有一个体积为0的物品时，背包容量j为0的方案数为1个，而容量大于0的方案数全为0。之后来看关键的状态转移方程：

Bo[i][j]=Bo[i-1][j] i>j

Bo[i][j]=Bo[i-1][j]+Bo[i-1][j-i] i<=j

二维数组是从上到下，从左到右进行计算的，每个元素都与之前已经计算过元素相关。第i行j列的元素，如果i>j，也就是新添加的可选物品的体积大于背包的容积，无法放入背包，所以新添加的可选物品不能够增加方案数。如果i<=j，新添加的可选物品的体积小于背包的容积，有可能与其他物品组合装入背包，这时方案数为当没有添加入i体积物品时背包容量为j的方案数Bo[i-1][j]，加上当没有添加入i体积物品时但背包容量恰好可以装入i体积物品的方案数Bo[i][j]=Bo[i-1][j]+Bo[i-1][j-i]。这样逐行计算即可知道所有情况下的方案数。

但是背包问题和本题有何关系呢，似乎毫不相干？

这题的难点就在于如何将本题转化为01背包问题。

设数列首项为t，F(i)={a,-b},第i项加上F(i)为第i+1项。所以第2项可表示为t+F(1)，第2项可表示为t+F(1)+F(2)，第3项可表示为t+F(1)+F(2)+F(3)...........把第一项到第n项累加起来可得表达式n*t + (n-1)F(1) + (n-2)F(2) + ....... +F(n-1) =s。n*t = s - {(n-1)F(1) + (n-2)F(2) + ....... +F(n-1)}。由于F(i)不为a就为-b，设有c个a，F(i)的系数相加共有1+2+......+n-1 = (n-1)*n/2项目，所以共有c-(n-1)*n/2个b。所以令temp = s - c*a + ((n-1)*n/2 - c)*b，当temp%n = = 0时，说明temp == n*t，满足要求。并且，c为1~n-1个数中的若干个数组合相加而得的，每一种组合都是一种方案，到此，我们就可以发现这题已经转化为求01背包问题的方案数了。即从体积为1~n-1的物品中有几种方案能够恰好填满背包。

i j012345678901000000000111000000002111100000031112111000上图为测试输入样例的动态规划的结果，每一项都是(i,j)条件下的方案数，c的可能取值为4的倍数，该输入中有0和4符合要求，所以将(3,0)和(3.4)的值相加即为答案2。

还要注意到时间和空间的节省。时间上因为1~i-1体积的物品加起来最多也只能刚好填满i*(i+1)/2容量的背包，所以大于背包容量大于i*(i+1)/2体积的不用计算，固定初始化为0。空间上也不需要开辟上图那么大的空间，用滚动数组只需开辟两行即可，因为(i,j)的值只与i-1行有关,最终结果也只和最后求得的一行有关，所以只需存储当前行与上一行。

下面看看代码：

#include<iostream>using namespace std;#define MOD 100000007  #define MAXN 1100  long long  n,s,a,b; long long all;long long Bo[2][MAXN*MAXN];//作为滚动数组 int p=0;//p为滚动数组标识，表示当前操作数组的第几行，（例如当前计算第i行，p指向操作Bo数组第0行，逻辑上i-1行是Bo数组第1行）void fun_dp(){long long i,j;//动态规划前初始化,只有一个体积为0的物品，可以装入容量为0的背包，容量大于0的背包方案数为0 Bo[p][0]=1;for(i=1;i<n;i++)//有体积为1到n-1的n-1种物品 {p=1-p;//p如果是0变换成1，如果是1变换成0 for(j=0;j<=i*(i+1)/2;j++)//背包容量从0到 i*(i-1)/2{if(i<j || i==j){Bo[p][j] = (Bo[1-p][j] + Bo[1-p][j-i]) % MOD;}else{    Bo[p][j] = Bo[1-p][j];} }}}int fun_sum(){long long count=0,i;long long temp;for(i=0;i<=all;i++){temp = s - i*a + (all - i)*b;if(temp%n == 0){count = (count+Bo[p][i])%MOD;}}return count;}int main(){long long count; cin >> n >> s >> a >> b;all = n*(n-1)/2; //最多可以增加多少个a（背包容量最大值） fun_dp();//进行动态规划的函数count = fun_sum();//统计总数cout << count;return 0;}

最后还是有超时一点，拿了90%,还有10%束手无策了。我写的这篇应该也是我能找到的对于这题讲解最细的了，希望带来帮助。

再把10组测试数据送上

Intput : 5 0 1 2 output ：4

15 14 12 7 1091

30 29 11 27 35791358

40 34 7 12 43894385

50 24 12 19 98280293

80 487 20 41 23283456

100 500 1 42 40778050

800 -34123 43141 134798 70420626

900 -931324123 987534 94273 41795042

1000 134182393 234891 410392 22371357