洛谷 P1052 过河

题目描述

在河上有一座独木桥，一只青蛙想沿着独木桥从河的一侧跳到另一侧。在桥上有一些石子，青蛙很讨厌踩在这些石子上。由于桥的长度和青蛙一次跳过的距离都是正整数，我们可以把独木桥上青蛙可能到达的点看成数轴上的一串整点：0，1，……，L（其中L是桥的长度）。坐标为0的点表示桥的起点，坐标为L的点表示桥的终点。青蛙从桥的起点开始，不停的向终点方向跳跃。一次跳跃的距离是S到T之间的任意正整数（包括S,T）。当青蛙跳到或跳过坐标为L的点时，就算青蛙已经跳出了独木桥。

题目给出独木桥的长度L，青蛙跳跃的距离范围S,T，桥上石子的位置。你的任务是确定青蛙要想过河，最少需要踩到的石子数。

输入输出格式

输入格式：
输入文件river.in的第一行有一个正整数L（1 <= L <= 10^9），表示独木桥的长度。第二行有三个正整数S，T，M，分别表示青蛙一次跳跃的最小距离，最大距离，及桥上石子的个数，其中1 <= S <= T <= 10，1 <= M <= 100。第三行有M个不同的正整数分别表示这M个石子在数轴上的位置（数据保证桥的起点和终点处没有石子）。所有相邻的整数之间用一个空格隔开。

输出格式：
输出文件river.out只包括一个整数，表示青蛙过河最少需要踩到的石子数。

输入输出样例

输入样例#1：
10
2 3 5
2 3 5 6 7
输出样例#1：
2
说明

对于30%的数据，L <= 10000；

对于全部的数据，L <= 109。

2005提高组第二题

分析：
（1）如果s=t，说明路径唯一，直接模拟。有20分。
（2）
方法一：
当s不等于t时，设f[i]为到i时最少碰到石头数，有
f[i]=min(f[i-j])+b[i] {i处有石头，b[i]=1,否则为0}
我们可以开一个单调队列来完成。当一个队列中的结果已经达到稳态，那么对下一次计算，它只能产生两种结果：如果计算位置没有石子，那么队列仍然保持稳定；如果有石子，那么加一的结果将使得队列再次出现不稳定。我们发现，在t个单位若无石头，则这个单调队列不会改变，每次直接跳到下一位置即可。

方法二：
如果把这些石子数放到长度为10亿单位的桥上，那是多么的稀疏呀，这就为我们提供了可能。

设第k个石子座标为x，第k-1个石子和第k个石子间距离足够大，则青蛙从两个石子间跳到第k个石子及之后的位置有：x、x+1、x+2、x+3……x+t-1。如果我们能保证，将石子k-1和石子k之间的距离缩短（即减少状态）后，青蛙依然能跳到这些位置，则可以平移。而这一点我们可以通过在两个石子间保留1个最小公倍数单位长度得到保证。

我们先来看一组数据。s=4，t=5。

从数据中我们看到，12以后的点全部都是可以到达的了。如果s=4，t=5，在一段100000的距离中没有石头，其实12以后的点都是不用递推就知道肯定能到达的。那么我们用原始的方法做就会浪费很大的资源。
所以当s=4，t=5时，如果一段没有石头的区间长度在4*5=20以外，那么我们只要递推前20就可以了，因为20后面的情况是一样的。

代码：

var f:array [0..1000001] of longint; b:array [0..1000001] of boolean; a:array [0..100] of longint; s,t,n,l,q,i,j,d,ans,x:longint;procedure qsort(l,r:longint);  var    i,j,key,temp:longint;  begin    if l>=r then exit;    i:=l;j:=r;    key:=a[l+random(r-l+1)];    repeat      while  (a[i]<key) do inc(i);      while  (a[j]>key) do dec(j);      if i<=j then      begin        temp:=a[i];a[i]:=a[j];a[j]:=temp;        inc(i);dec(j);      end;    until i>j;    qsort(l,j);    qsort(i,r);  end;function min(x,y:longint):longint; begin  if x>y then exit(y)         else exit(x); end;begin readln(l); readln(s,t,n); q:=s*t; for i:=1 to n do  read(a[i]); qsort(1,n); if s=t then  begin   for i:=1 to n do    if a[i] mod s=0 then     inc(ans);   writeln(ans);   exit;  end; for i:=1 to n do begin  d:=a[i]-a[i-1];  if d>q then   begin    for j:=i to n do     a[j]:=a[j]-(d-q);   end;  b[a[i]]:=true; end; l:=a[n]+t; fillchar(f,sizeof(f),$7f); f[0]:=0; for i:=1 to l do  for j:=s to t do   if i-j>=0 then    begin     if b[i] then x:=1 else x:=0;     f[i]:=min(f[i-j]+x,f[i]);    end; ans:=maxlongint; for i:=a[n]+1 to l do  ans:=min(ans,f[i]); writeln(ans);end.