[luoguP3599]Koishi Loves Construction

题目描述

Koishi决定走出幻想乡成为数学大师！

Flandre听说她数学学的很好，就给Koishi出了这样一道构造题：

Task1：试判断能否构造并构造一个长度为n的的排列，满足其n个前缀和在模n的意义下互不相同

Taks2：试判断能否构造并构造一个长度为n的的排列，满足其n个前缀积在模n的意义下互不相同

按照套路，Koishi假装自己根本不会捉，就来找你帮忙辣。

问题一

容易知道n为大于1的奇数无解。
因为此时和为n的倍数所以第n项必须放n。
而不在第一项放n会使得存在两项相同，从而判断无解。
n为1特判掉。
考虑n为偶数如何构造。
可以考虑构造前缀和数组再倒推。
前缀和数组是0 1 n-1 2 n-2 3 n-3……n/2
容易证明减出来互不相同，这里略去。

问题二

容易知道n为大于4的合数无解。
因为n!肯定是n的倍数所以第n项必须放n。
假如n为合数能拆出n=pq
当p小于q时，显然(n-1)!含有p与q模n会为0。
当p等于q时，如果n大于4，就有2q<n，(n-1)!会含有至少两个q因此模n为0。
n等于4和1特判掉，然后考虑n为质数如何构造。
可以考虑构造前缀积数组再倒推。
前缀积数组是1 2 3 4 5 6……n
容易证明除出来互不相同，这里略去。

#include<cstdio>#include<algorithm>#include<cmath>#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)using namespace std;typedef long long ll;const int maxn=100000+10;int a[maxn],b[maxn];int i,j,k,l,t,n,m,ca,czy;int read(){    int x=0,f=1;    char ch=getchar();    while (ch<'0'||ch>'9'){        if (ch=='-') f=-1;        ch=getchar();    }    while (ch>='0'&&ch<='9'){        x=x*10+ch-'0';        ch=getchar();    }    return x*f;}void solve1(){    while (ca--){        n=read();        if (n%2==1){            if (n==1) printf("2 1\n");            else printf("0\n");            continue;        }        b[1]=0;        fo(i,1,n/2){            b[i*2]=i;            b[i*2+1]=n-i;        }        a[1]=n;        fo(i,2,n) a[i]=((b[i]-b[i-1])%n+n)%n;        printf("2 ");        fo(i,1,n) printf("%d ",a[i]);        printf("\n");    }}int quicksortmi(int x,int y){    if (!y) return 1;    int t=quicksortmi(x,y/2);    t=(ll)t*t%n;    if (y%2) t=(ll)t*x%n;    return t;}bool pd(int n){    int i;    fo(i,2,floor(sqrt(n)))        if (n%i==0) return 1;    return 0;}void solve2(){    while (ca--){        n=read();        if (n==1) printf("2 1\n");        else if (n==2) printf("2 1 2\n");        else if (n==4) printf("2 1 3 2 4\n");        else{            if (pd(n)) printf("0\n");            else{                a[1]=1;                fo(i,2,n-1) a[i]=(ll)(i-1)*quicksortmi(i,n-2)%n;                a[n]=n;                printf("2 ");                fo(i,1,n) printf("%d ",a[i]);                printf("\n");            }        }    }}int main(){    czy=read();ca=read();    if (czy==1) solve1();    else solve2();}