BZOJ 1001 [BeiJing2006]狼抓兔子 最短路

题目大意：给出一张左上角点为(1,1),右下角点为(N,M)(上图中N=4,M=5).有以下三种类型的道路
1:(x,y)<==>(x+1,y)
2:(x,y)<==>(x,y+1)
3:(x,y)<==>(x+1,y+1)
n,m<=1000
求最小割.

数据太大，网络流会很卡（不太清楚用一些玄学的底层优化能不能卡过去）

这时我们需要用到非常神奇的结论：最小割转最短路

根据欧拉公式，如果一个连通的平面图1有n个点，m条边和f个面，那么f=m-n+2（在上图中 n=12,m=23,f=13）

现在，把面与点反过来，即面作为点，点作为面，那么对于每条边
1.边只属于一个面，给对应点连一个自环；
2.边两侧各有一个面，给对应点之间连一条无向边

这样，我们就做了一个原图的对偶图2，有什么用呢？
对偶图的路径对应原图的割
那么平面图的最小割=其对偶图的最短路

在本题中，即靠上、右面的边与起点连边，靠下、左面的边与终点连边，其他的对应连边即可，点均以左上角为准，0/1分别代表一个正方形中的上下两个面（三角形）。

具体可参照下图

（本图来自http://blog.csdn.net/nikelong0/article/details/50727840）

#include <cstdio>#include <cstring>#include <queue>#include <algorithm>#define N 2000005using namespace std;int n,m,S,T,top=-1,fir[N],num[1005][1005][2];struct Edge {    int to,nxt,val;}e[N*4];void Add_Edge(int from,int to,int val) {    e[++top].to=to;    e[top].val=val;    e[top].nxt=fir[from];    fir[from]=top;    e[++top].to=from;    e[top].val=val;    e[top].nxt=fir[to];    fir[to]=top;    return ;}struct Node {    int ord,val;    Node(int x=0,int y=0):ord(x),val(y){}    bool operator < (const Node& rhs) const { return val>rhs.val; }};int Dijsktra() {    static priority_queue<Node> q;    static bool k[N];    static int dist[N];    memset(dist,0x7f,sizeof dist);    dist[S]=0;    q.push(Node(S,0));    while(!q.empty()) {        Node tmp=q.top(); q.pop();        int x=tmp.ord,v=tmp.val;        if(k[x]) continue;        k[x]=true;        for(int i=fir[x];i!=-1;i=e[i].nxt) {            int to=e[i].to;            if(dist[to]<=dist[x]+e[i].val) continue;            dist[to]=dist[x]+e[i].val;            q.push(Node(to,dist[to]));        }    }    return dist[T];}int main() {    memset(fir,-1,sizeof fir);    scanf("%d%d",&n,&m);    if(n==1 || m==1) {        int ans=2147483647;        n=max(n,m);        for(int i=1;i<=n;i++) {            int x;            scanf("%d",&x);            ans=min(ans,x);        }        printf("%d\n",ans);        return 0;    }    T=1;    for(int i=1;i<=n;i++)        for(int j=1;j<=m;j++)            num[i][j][0]=((m-1)*(i-1)+j-1)*2+2 ,            num[i][j][1]=num[i][j][0]+1;    for(int i=1;i<=n;i++)        for(int j=1;j<m;j++) {            int x;            scanf("%d",&x);            if(i==1) Add_Edge(num[i][j][1],S,x);            else if(i==n) Add_Edge(num[i-1][j][0],T,x);            else Add_Edge(num[i][j][1],num[i-1][j][0],x);        }    for(int i=1;i<n;i++)        for(int j=1;j<=m;j++) {            int x;            scanf("%d",&x);            if(j==1) Add_Edge(num[i][j][0],T,x);            else if(j==m) Add_Edge(num[i][j-1][1],S,x);            else Add_Edge(num[i][j-1][1],num[i][j][0],x);        }    for(int i=1;i<n;i++)        for(int j=1;j<m;j++) {            int x;            scanf("%d",&x);            Add_Edge(num[i][j][0],num[i][j][1],x);        }    printf("%d\n",Dijsktra());    return 0;}

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1. 平面图就是画在平面上边不相交的图 ↩
2. 设有平面图G=(V,E)，满足下列条件的图G’= (V’,E’) 称为图G的对偶图：G的任一面Ri内有且仅有一点Vi’；对G的域Ri和Rj的共同边界Ek，画一条边Ek’=(Vi’,Vj’)且只与Ek交于一点；若Ek完全处于Ri中，则Vi’有一自环Ek’
   总之就是点面反过来建的图- - ↩