01背包问题

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给大家附上一个题目吧，便于理解

ctest有n个苹果，要将它放入容量为v的背包。给出第i个苹果的大小和价钱，求出能放入背包的苹果的总价钱最大值。

输入：每组测试数据第一行为2个正整数，分别代表苹果的个数n和背包的容量v

接下来的n行，每行2个正整数，用空格隔开，分别代表苹果的大小c和价钱w  

01背包其实就是遍历所有可能情况  然后取最优的结果   和搜索差不多 不过比搜索快

0 1 背包的方程为dp[i]=max(dp[i-c[j]])+w[j],dp[i]) 

i：表示当前的背包容量

j：是苹果的序号

dp[i]：是容量为i的背包能放的最大价值 

c[j]：序号为j的苹果的大小

w[j]：序号为j的苹果的价值 

这个方程翻译成白话文就是   容量为i的背包的最大价值=(当前背包容量-序号为j的苹果的大小)的最大价值+序号为j的苹果的价值  和 容量为i的背包的当前价值 之间的最大值 

说着比较绕口。慢慢理解

说白了  ，其实就是取与不取的问题 ，如果取了  那么取后的价值要大于我没有取之前的价值 否则我就不要你  （因为同样大小的背包我要装价值更大的啊）

对着这道题举个例子吧

5     10

1      9

4      4

2      6

5      5

10    8

你能根据自己的想法填下表吗  看结果是否和我的一样

这个结果其实就是根据0-1背包的思想得到的 ，如果你能填 证明你已经入门了

我首先附上0-1背包的代码 

1. for(int i=0;i<n;i++)    
2. {    
3.     for(int j=v;j>=0;j--)    
4.     {    
5.         if(j>=c[i])    
6.         dp[j]=max(dp[j-c[i]]+w[i],dp[j]);    
7.     }    
8. }    

   你肯定有几个问题？

   1.为什么外层循环是苹果的数目 而不是背包的容量

   答：因为每个苹果只能选择一次  如果背包容量在外 

   2.外循环是对苹果的遍历 那么内循环为什么是v-》0而不是 从0-》v

   这个问题我也迷惑了好久   我们仔细看看动态方程dp[i]=max(dp[i-c[j]])+w[j],dp[i])    我们首先假设  有一个苹果大小为1   价值为9

   那么dp[1]=max(dp[1-1]+9,dp[1])=9  是正常的 dp[2]=max(dp[2-1]+9,dp[2])=18..dp[3]=27,dp[4]=36等等  发现问题了吧

   所以内循环从0-》v是错误的    如果从v-》0就行了  因为在每个苹果循环的时候 我们要保证当前已经遍历的背包对我未遍历的背包没有影响

   看完了这些 分析上面的截图吧

   首先是对苹果大小为1  价值为9     背包容量为10.....1  最大价值都为9  背包容量为0  最大价值为0

   苹果大小为4 价值为4      背包容量为10.....5的价值变为13  为什么呢  还是动态规划方程dp[i]=max(dp[i-c[j]])+w[j],dp[i])    分析一个为5的吧  dp[5]=max(d[4]+4,dp[5])=9+4=13    而在背包容量为4的时候 我们发现价值还是9  没有变化因为这两个苹果大小4+1=5>4

   由于我们对每个苹果遍历后 都是当前苹果个数的最优结果   所以当我们遍历完最后一个苹果 那么结果也就是最优化的

   就分析这么多吧 

   这道题的传送门 和AC代码

   1. #include <stdio.h>    
   2. #include <string.h>    
   3. int main()    
   4. {    
   5.     int n,v,max,c[1005],w[1005],dp[1005];    
   6.     while(scanf("%d %d",&n,&v)!=EOF)    
   7.     {    
   8.         if(n==0&&v==0)    
   9.         break;    
   10.         memset(dp,0,sizeof(dp));    
   11.         for(int i=0;i<n;i++)    
   12.         scanf("%d %d",&c[i],&w[i]);    
   13.         max=0;    
   14.         for(int i=0;i<n;i++)    
   15.         for(int j=v;j>=c[i];j--)    
   16.         {    
   17.         //  dp[j]=dp[j];    
   18.             if(dp[j]<dp[j-c[i]]+w[i])    
   19.             dp[j]=dp[j-c[i]]+w[i];    
   20.             if(max<dp[j])    
   21.             max=dp[j];    
   22.         }    
   23.         printf("%d\n",max);    
   24.     }    
   25.     return 0;    
   26. }