Fibonacci数列（四）

Fibonacci数列（四）

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难度：4

描述

 数学神童小明终于把0到100000000的Fibonacci数列（f[0]=0,f[1]=1;f[i] = f[i-1]+f[i-2](i>=2)）的值全部给背了下来。
接下来，CodeStar决定要考考他，于是每问他一个数字，他就要把答案说出来，不过有的数字太长了。所以规定超过4位的只要说出前4位（高4位）就可以了，可是CodeStar自己又记不住。于是他决定编写一个程序来测验小明说的是否正确。

输入

输入若干数字n(0 <= n <= 100000000)，每个数字一行。读到文件尾结束。

输出

输出f[n]的前4个数字（若不足4个数字，就全部输出）。

样例输入

012345353637383940

样例输出

011235922714932415390863241023

这道题首先考虑如何产生前4位： 
先看对数的性质,logabc=c*logab ,loga(b*c)=logab+logac;假设给出一个数10234432,那么log10(10234432)=log10(1.0234432*107)【用科学记数法表示这个数】=log10(1.0234432)+7;log10(1.0234432)就是log10(10234432)的小数部分.log10(1.0234432)=0.010063744(取对数所产生的数一定是个小数)再取一次幂:10^0.010063744=1.023443198，然后减去整数部分，剩下的就是小数部分，让取前4位，只需要将小数部分*1000就好了。
 
然后根据数学知识，有斐波那契数列的通项公式：
当然，这样是不够的，需要进一步加工。
log10f(n)=n*log10((1+√5)/2)-log10√5+log10(1-((1-√5)/(1+√5))n)  红色的部分随着n的增大快速的就趋近余0，是高阶无穷小. 可以忽略。
所以：log10f(n) ≈n*log10((1+√5)/2)-log10√5

#include<iostream>#include<stdio.h>#include<cmath>using namespace std;int main(){    int n,i,a[25];    double x,y,z,d;    a[0]=0;    a[1]=1;    for(i=0;i<19;i++)        a[i+2]=a[i+1]+a[i];    while(scanf("%d",&n)!=EOF){        if(n<=20)            cout<<a[n]<<endl;        else{            x=( log( ( 1.0+sqrt(5.0) ) /2.0 ) / log(10.0) )*n;            y=( 0.5*log( 5.0 ) )/log(10.0);                z=(x-y)-floor(x-y);                  //得到log f(n)的小数部分             d=1000*pow(10.0,z );                                 cout<<floor(d)<<endl;                 //取整数         }    }    return 0;}