二叉树

目录：
1.二叉树三种周游（traversal）方式：
2.怎样从顶部开始逐层打印二叉树结点数据
3.如何判断一棵二叉树是否是平衡二叉树
4.设计一个算法，找出二叉树上任意两个节点的最近共同父结点，复杂度如果是O(n2)则不得分。
5.如何不用递归实现二叉树的前序/后序/中序遍历?
6.在二叉树中找出和为某一值的所有路径
7.怎样编写一个程序，把一个有序整数数组放到二叉树中?
8.判断整数序列是不是二叉搜索树的后序遍历结果
9.求二叉树的镜像
10.一棵排序二叉树（即二叉搜索树BST），令 f=(最大值+最小值)/2，设计一个算法，找出距离f值最近、大于f值的结点。复杂度如果是O(n2)则不得分。
11.把二叉搜索树转变成排序的双向链表

首先写一个二叉树的C#实现，这是我们的基石：

public class BinNode{public int Element;public BinNode Left;public BinNode Right;public BinNode(int element, BinNode left, BinNode right){this.Element = element;this.Left = left;this.Right = right;}public bool IsLeaf(){return this.Left == null && this.Right == null;}}

1.二叉树三种周游（traversal）方式：
1）前序周游（preorder）：节点 –> 子节点Left（包括其子树） –> 子节点Right（包括其子树）

static void PreOrder(BinNode root){if (root == null)return;//visit current nodeConsole.WriteLine(root.Element);PreOrder(root.Left);PreOrder(root.Right);}

2）后序周游（postorder）：子节点Left（包括其子树） –> 子节点Right（包括其子树） –> 节点

static void PostOrder(BinNode root){if (root == null)return;PostOrder(root.Left);PostOrder(root.Right);//visit current nodeConsole.WriteLine(root.Element);}

3）中序周游（inorder）：子节点Left（包括其子树） –> 节点 –> 子节点Right（包括其子树）

static void InOrder(BinNode root){if (root == null)return;InOrder(root.Left);//visit current nodeConsole.WriteLine(root.Element);InOrder(root.Right);}

我们发现，三种周游的code实现，仅仅是访问当前节点的这条语句所在位置不同而已。
2.怎样从顶部开始逐层打印二叉树结点数据
有2种算法：
算法1：基于Queue来实现，也就是广度优先搜索（BFS）的思想

static void PrintTree1(BinNode root){if (root == null) return;BinNode tmp = null;Queue queue = new Queue();queue.Enqueue(root);while (queue.Count > 0){tmp = (BinNode)queue.Dequeue();Console.WriteLine(tmp.Element);if (tmp.Left != null)queue.Enqueue(tmp.Left);if (tmp.Right != null)queue.Enqueue(tmp.Right);}}

话说，BFS和DFS思想本来是用于图的，但我们不能被传统的思维方式所束缚。

算法2：基于单链表实现
如果没有Queue给我们用，我们只好使用单链表，把每个节点存在单链表的Data中，实现如下：

public class Link{public Link Next;public BinNode Data;public Link(Link next, BinNode data){this.Next = next;this.Data = data;}}

看过了Queue的实现，我们发现永远是先出队1个（队头），然后入队2个（把出队的Left和Right放到队尾）。
对于单链表而言，我们可以先模拟入队——把first的Data所对应的Left和Right，先后插到second的后面，即second.Next和second.Next.Next位置，同时second向前走0、1或2次，再次到达链表末尾，这取决于Left和Right是否为空；然后我们模拟出队——first前进1步。
当first指针走不下去了，那么任务也就结束了。

static void PrintTree2(BinNode root){if (root == null) return;Link head = new Link(null, root);Link first = head;Link second = head;while (first != null){if (first.Data.Left != null){second.Next = new Link(null, first.Data.Left);second = second.Next;}if (first.Data.Right != null){second.Next = new Link(null, first.Data.Right);second = second.Next;}Console.WriteLine(first.Data.Element);first = first.Next;}}

3.如何判断一棵二叉树是否是平衡二叉树
平衡二叉树的定义，如果任意节点的左右子树的深度相差不超过1，那这棵树就是平衡二叉树。
算法思路：先编写一个计算二叉树深度的函数GetDepth，利用递归实现；然后再递归判断每个节点的左右子树的深度是否相差1

static int GetDepth(BinNode root){if (root == null)return 0;int leftLength = GetDepth(root.Left);int rightLength = GetDepth(root.Right);return (leftLength > rightLengthleftLength : rightLength) + 1;}

注意这里的+1，对应于root不为空（算作当前1个深度）

static bool IsBalanceTree(BinNode root){if (root == null)return true;int leftLength = GetDepth(root.Left);int rightLength = GetDepth(root.Right);int distance = leftLength > rightLengthleftLength – rightLength : rightLength – leftLength;if (distance > 1)return false;elsereturn IsBalanceTree(root.Left) && IsBalanceTree(root.Right);}

上述程序的逻辑是，只要当前节点root的Left和Right深度差不超过1，就递归判断Left和Right是否也符合条件，直到为Left或Right为null，这意味着它们的深度为0，能走到这一步，前面必然都符合条件，所以整个二叉树都符合条件。

4.设计一个算法，找出二叉树上任意两个节点的最近共同父结点，复杂度如果是O(n2)则不得分。
本题网上有很多算法，都不怎么样。这里提出包氏的两个算法：
算法1：做一个容器，我们在遍历二叉树寻找节点的同时，把从根到节点的路径扔进去（两个节点就是两个容器）。由于根节点最后一个被扔进去，但我们接下来又需要第一个就能访问到它——后进先出，所以这个容器是一个栈。时间复杂度O(N)，空间复杂度O(N)。

static bool GetPositionByNode(BinNode root, BinNode node, ref Stack stack){if (root == null)return false;if (root == node){stack.Push(root);return true;}if (GetPositionByNode(root.Left, node, ref stack) || GetPositionByNode(root.Right, node, ref stack)){stack.Push(root);return true;}return false;}

然后我们要同时弹出这两个容器的元素，直到它们不相等，那么之前那个相等的元素就是我们要求的父亲节点。

static BinNode FindParentNode(BinNode root, BinNode node1, BinNode node2){Stack stack1 = new Stack();GetPositionByNode(root, node1, ref stack1);Stack stack2 = new Stack();GetPositionByNode(root, node2, ref stack2);BinNode tempNode = null;while (stack1.Peek() == stack2.Peek()){tempNode = (BinNode)stack1.Pop();stack2.Pop();}return tempNode;}

算法2：如果要求o(1)的空间复杂度，就是说，只能用一个变量来辅助我们。
我们选择一个64位的整数，然后从1开始，从左到右逐层为二叉树的每个元素赋值，root对应1，root.Left对应2，root.Right对应3，依次类推，而不管实际这个位置上是否有节点，我们发现两个规律：
////1
////2 3
////4567
////8910
如果要找的是5和9位置上的节点。
我们发现，它们的二进制分别是101和1001，右移1001使之与101位数相同，于是1001变成了100（也就是9的父亲4）。
这时101和100（也就是4和5位于同样的深度），我们从左往右找，101和100具有2位相同，即10，这就是我们要找的4和5的父亲，也就是9和5的最近父亲。
由上面观察，得到算法：
1)将找到的两个节点对应的数字

static bool GetPositionByNode(BinNode root, BinNode node, ref int pos){if (root == null)return false;if (root == node)return true;int temp = pos;//这么写很别扭，但是能保证只要找到就不再进行下去pos = temp * 2;if (GetPositionByNode(root.Left, node, ref pos)){return true;}else{//找不到左边找右边pos = temp * 2 + 1;return GetPositionByNode(root.Right, node, ref pos);}}

2)它们的二进制表示，从左向右逐一比较，直到一个结束或不再相同，则最大的相同子串，就是我们需要得到的最近父亲所对应的位置K。

static int FindParentPosition(int larger, int smaller){if (larger == smaller) return larger;int left = GetLen(larger) – GetLen(smaller);while (left > 0){larger = larger >> 1;left–;}while (larger != smaller){larger = larger >> 1;smaller = smaller >> 1;}return smaller;}static int GetLen(int num){int length = 0;while (num != 0){num = num >> 1;length++;}return length;}

3)第3次递归遍历，寻找K所对应的节点。
函数GetNodeByPosition的思想是，先算出k在第几层power，观察k的二进制表示，比如说12，即1100，从左向右数第一个位1不算，还剩下100，1表示向右走，0表示向左走，于是从root出发，1->3->6->12。

static BinNode GetNodeByPosition(BinNode root, int num){if (num == 1) return root;int pow = (int)Math.Floor(Math.Log(num, 2)); //1 return 0, 2-3 return 1, 4-7 return 2//第一个位不算num -= 1 << pow;while (pow > 0){if ((num & 1 << (pow - 1)) == 0)root = root.Left;elseroot = root.Right;pow--;}return root;}

总结上面的3个步骤：

static BinNode FindParentNode(BinNode root, BinNode node1, BinNode node2){int pos1 = 1;GetPositionByNode(root, node1, ref pos1);int pos2 = 1;GetPositionByNode(root, node2, ref pos2);int parentposition = 0;if (pos1 >= pos2){parentposition = FindParentPosition(pos1, pos2);}else //pos1<pos2{parentposition = FindParentPosition(pos2, pos1);}return GetNodeByPosition(root, parentposition);}

5.如何不用递归实现二叉树的前序/后序/中序遍历?
算法思想：三种算法的思想都是让root的Left的Left的Left全都入栈。所以第一个while循环的逻辑，都是相同的。
下面详细分析第2个while循环，这是一个出栈动作，只要栈不为空，就始终要弹出栈顶元素，由于我们之前入栈的都是Left节点，所以每次在出栈的时候，我们都要考虑Right节点是否存在。因为前序/后序/中序遍历顺序的不同，所以在具体的实现上有略为区别。
1)前序遍历
这个是最简单的。
前序遍历是root->root.Left->root.Right的顺序。
因为在第一个while循环中，每次进栈的都可以认为是一个root，所以我们直接打印，然后root.Right和root.Left先后进栈，那么出栈的时候，就能确保先左后右的顺序。

static void PreOrder(BinNode root){Stack stack = new Stack();BinNode temp = root;//入栈while (temp != null){Console.WriteLine(temp.Element);if (temp.Right != null)stack.Push(temp.Right);temp = temp.Left;}//出栈，当然也有入栈while (stack.Count > 0){temp = (BinNode)stack.Pop();Console.WriteLine(temp.Element);while (temp != null){if (temp.Right != null)stack.Push(temp.Right);temp = temp.Left;}}}//后序遍历比较麻烦，需要记录上一个访问的节点，然后在本次循环中判断当前节点的Right或Left是否为上个节点，当前节点的Right为null表示没有右节点。static void PostOrder(BinNode root){Stack stack = new Stack();BinNode temp = root;//入栈while (temp != null){if (temp != null)stack.Push(temp);temp = temp.Left;}//出栈，当然也有入栈while (stack.Count > 0){BinNode lastvisit = temp;temp = (BinNode)stack.Pop();if (temp.Right == null || temp.Right == lastvisit){Console.WriteLine(temp.Element);}else if (temp.Left == lastvisit){stack.Push(temp);temp = temp.Right;stack.Push(temp);while (temp != null){if (temp.Left != null)stack.Push(temp.Left);temp = temp.Left;}}}}//中序遍历，类似于前序遍历static void InOrder(BinNode root){Stack stack = new Stack();BinNode temp = root;//入栈while (temp != null){if (temp != null)stack.Push(temp);temp = temp.Left;}//出栈，当然也有入栈while (stack.Count > 0){temp = (BinNode)stack.Pop();Console.WriteLine(temp.Element);if (temp.Right != null){temp = temp.Right;stack.Push(temp);while (temp != null){if (temp.Left != null)stack.Push(temp.Left);temp = temp.Left;}}}}

6.在二叉树中找出和为某一值的所有路径
算法思想：这道题目的苦恼在于，如果用递归，只能打出一条路径来，其它符合条件的路径打不出来。
为此，我们需要一个Stack，来保存访问过的节点，即在对该节点的递归前让其进栈，对该节点的递归结束后，再让其出栈——深度优先原则（DFS）。
此外，在递归中，如果发现某节点（及其路径）符合条件，如何从头到尾打印是比较头疼的，因为DFS使用的是stack而不是queue，为此我们需要一个临时栈，来辅助打印。

static void FindBinNode(BinNode root, int sum, Stack stack){if (root == null)return;stack.Push(root.Element);//Leafif (root.IsLeaf()){if (root.Element == sum){Stack tempStack = new Stack();while (stack.Count > 0){tempStack.Push(stack.Pop());}while (tempStack.Count > 0){Console.WriteLine(tempStack.Peek());stack.Push(tempStack.Pop());}Console.WriteLine();}}if (root.Left != null)FindBinNode(root.Left, sum – root.Element, stack);if (root.Right != null)FindBinNode(root.Right, sum – root.Element, stack);stack.Pop();}

7.怎样编写一个程序，把一个有序整数数组放到二叉树中?
算法思想：我们该如何构造这棵二叉树呢?当然是越平衡越好，如下所示：
//// arr[0]
//// arr[1] arr[2]
//// arr[3] arr[4] arr[5]
相应编码如下：

public static void InsertArrayIntoTree(int[] arr, int pos, ref BinNode root){root = new BinNode(arr[pos], null, null);root.Element = arr[pos];//if Left value less than arr lengthif (pos * 2 + 1 > arr.Length – 1){return;}else{InsertArrayIntoTree(arr, pos * 2 + 1, ref root.Left);}//if Right value less than arr lengthif (pos * 2 + 2 > arr.Length – 1){return;}else{root.Right = new BinNode(arr[pos * 2 + 2], null, null);InsertArrayIntoTree(arr, pos * 2 + 2, ref root.Right);}}

8.判断整数序列是不是二叉搜索树的后序遍历结果
比如，给你一个数组： int a[] = [1, 6, 4, 3, 5] ，则F(a) => false
算法思想：在后续遍历得到的序列中，最后一个元素为树的根结点。从头开始扫描这个序列，比根结点小的元素都应该位于序列的左半部分；从第一个大于跟结点开始到跟结点前面的一个元素为止，所有元素都应该大于跟结点，因为这部分元素对应的是树的右子树。根据这样的划分，把序列划分为左右两部分，我们递归地确认序列的左、右两部分是不是都是二元查找树。
由于不能使用动态数组，所以我们每次递归都使用同一个数组arr，通过start和length来模拟“部分”数组。

public static bool VerifyArrayOfBST(int[] arr, int start, int length){if (arr == null || arr.Length == 0 || arr.Length == 1){return false;}int root = arr[length + start - 1];int i = start;for (; i < length - 1; i++){if (arr[i] >= root)break;}int j = i;for (; j < length - 1; j++){if (arr[j] < root)return false;}bool left = true;if (i > start){left = VerifyArrayOfBST(arr, start, i – start);}bool right = true;if (j > i){right = VerifyArrayOfBST(arr, i, j – i + 1);}return left && right;}

9.求二叉树的镜像
算法1：利用上述遍历二叉树的方法（比如说前序遍历），把访问操作修改为交换左右节点的逻辑：

static void PreOrder(ref BinNode root){if (root == null)return;//visit current nodeBinNode temp = root.Left;root.Left = root.Right;root.Right = temp;PreOrder(ref root.Left);PreOrder(ref root.Right);}

算法2：使用循环也可以完成相同的功能。

static void PreOrder2(ref BinNode root){if (root == null)return;Stack stack = new Stack();stack.Push(root);while (stack.Count > 0){//visit current nodeBinNode temp = root.Left;root.Left = root.Right;root.Right = temp;if (root.Left != null)stack.Push(root.Left);if (root.Right != null)stack.Push(root.Right);}}

10.一棵排序二叉树（即二叉搜索树BST），令 f=(最大值+最小值)/2，设计一个算法，找出距离f值最近、大于f值的结点。复杂度如果是O(n2)则不得分。
算法思想：最小最大节点分别在最左下与最右下节点，O(N).

static BinNode Find(BinNode root){BinNode min = FindMinNode(root);BinNode max = FindMaxNode(root);double find = (double)(min.Element + max.Element) / 2;return FindNode(root, find);}static BinNode FindMinNode(BinNode root){BinNode min = root;while (min.Left != null){min = min.Left;}return min;}static BinNode FindMaxNode(BinNode root){BinNode max = root;while (max.Right != null){max = max.Right;}return max;}递归寻找BST的节点，O(logN)。static BinNode FindNode(BinNode root, double mid){//如果小于相等，则从右边找一个最小值if (root.Element <= mid){if (root.Right == null)return root;BinNode find = FindNode(root.Right, mid);//不一定找得到return find.Element < midroot : find;}//如果大于，则找到Leftelse //temp.Element > find{if (root.Left == null)return root;BinNode find = FindNode(root.Left, mid);//不一定找得到return find.Element < midroot : find;}}

11.把二叉搜索树转变成排序的双向链表，如
////13
////1015
//// 51117
////1622
转变为Link：5=10=11=13=15=16=17=22
算法思想：这个就是中序遍历啦，因为BST的中序遍历就是一个从小到大的访问顺序。局部修改中序遍历算法，于是有如下代码：

static void ConvertNodeToLink(BinNode root, ref DoubleLink link){if (root == null)return;BinNode temp = root;if (temp.Left != null)ConvertNodeToLink(temp.Left, ref link);//visit current nodelink.Next = new DoubleLink(link, null, root);link = link.Next;if (temp.Right != null)ConvertNodeToLink(temp.Right, ref link);}

但是我们发现，这样得到的Link是指向双链表最后一个元素22，而我们想要得到的是表头5，为此，我们不得不额外进行while循环，将指针向前移动到表头：

static DoubleLink ReverseDoubleLink(BinNode root, ref DoubleLink link){ConvertNodeToLink(root, ref link);DoubleLink temp = link;while (temp.Prev != null){temp = temp.Prev;}return temp;}

这么写有点蠢，为什么不直接在递归中就把顺序反转呢?于是有算法2：

算法2：观察算法1的递归方法，访问顺序是Left -> Root –> Right，所以我们要把访问顺序修改为Right -> Root –> Left。
此外，算法的节点访问逻辑，是连接当前节点和新节点，同时指针link向前走，即5=10=11=13=15=16=17=22=link
代码如下所示：
link.Next = new DoubleLink(link, null, root);
link = link.Next;
那么，即使我们颠倒了访问顺序，新的Link也只是变为：22=17=16=15=13=11=10=5=link。
为此，我们修改上面的节点访问逻辑——将Next和Prev属性交换：
link.Prev = new DoubleLink(null, link, root);
link = link.Prev;
这样，新的Link就变成这样的顺序了：link=5=10=11=13=15=16=17=22
算法代码如下所示：

static void ConvertNodeToLink2(BinNode root, ref DoubleLink link){if (root == null)return;BinNode temp = root;if (temp.Right != null)ConvertNodeToLink2(temp.Right, ref link);//visit current nodelink.Prev = new DoubleLink(null, link, root);link = link.Prev;if (temp.Left != null)ConvertNodeToLink2(temp.Left, ref link);}