【bzoj1036】[ZJOI2008]树的统计Count

Description
一棵树上有n个节点，编号分别为1到n，每个节点都有一个权值w。我们将以下面的形式来要求你对这棵树完成一些操作： I. CHANGE u t : 把结点u的权值改为t II. QMAX u v: 询问从点u到点v的路径上的节点的最大权值 III. QSUM u v: 询问从点u到点v的路径上的节点的权值和 注意：从点u到点v的路径上的节点包括u和v本身

Input
输入的第一行为一个整数n，表示节点的个数。接下来n – 1行，每行2个整数a和b，表示节点a和节点b之间有一条边相连。接下来n行，每行一个整数，第i行的整数wi表示节点i的权值。接下来1行，为一个整数q，表示操作的总数。接下来q行，每行一个操作，以“CHANGE u t”或者“QMAX u v”或者“QSUM u v”的形式给出。 对于100％的数据，保证1<=n<=30000，0<=q<=200000；中途操作中保证每个节点的权值w在-30000到30000之间。

Output
对于每个“QMAX”或者“QSUM”的操作，每行输出一个整数表示要求输出的结果。

Sample Input
4
1 2
2 3
4 1
4 2 1 3
12
QMAX 3 4
QMAX 3 3
QMAX 3 2
QMAX 2 3
QSUM 3 4
QSUM 2 1
CHANGE 1 5
QMAX 3 4
CHANGE 3 6
QMAX 3 4
QMAX 2 4
QSUM 3 4

Sample Output
4
1
2
2
10
6
5
6
5
16

题解
树链剖分（http://wenku.baidu.com/link?url=SGLjpJtYbJ0HxDYlU_GMXE1qCFS0gbmpDGWPxI7mQuNAsJP0y872mNKwpZ8P054g5XMhFGZbMUjZvN5hcnxFFUEfGBj6-tnkpnJvnVSlqGS）

树链剖分就是把树拆成一系列链，然后用数据结构对链进行维护。
通常的剖分方法是轻重链剖分，所谓轻重链就是对于节点u的所有子结点v，size[v]最大的v与u的边是重边，其它边是轻边，其中size[v]是以v为根的子树的节点个数，全部由重边组成的路径是重路径，根据论文上的证明，任意一点到根的路径上存在不超过logn条轻边和logn条重路径。
这样我们考虑用数据结构来维护重路径上的查询，轻边直接查询。
通常用来维护的数据结构是线段树，splay较少见。

具体步骤

预处理
第一遍dfs求出树每个结点的深度deep[x]，其为根的子树大小size[x]
以及祖先的信息fa[x][i]表示x往上距离为2^i的祖先

第二遍dfs
ž根节点为起点，向下拓展构建重链
选择最大的一个子树的根继承当前重链
其余节点，都以该节点为起点向下重新拉一条重链
给每个结点分配一个位置编号，每条重链就相当于一段区间，用数据结构去维护。
把所有的重链首尾相接，放到同一个数据结构上，然后维护这一个整体即可

修改操作
ž1、单独修改一个点的权值
根据其编号直接在数据结构中修改就行了。
2、修改点u和点v的路径上的权值
（1）若u和v在同一条重链上
直接用数据结构修改pos[u]至pos[v]间的值。
（2）若u和v不在同一条重链上
一边进行修改，一边将u和v往同一条重链上靠，然后就变成了情况（1）。
查询操作
ž查询操作的分析过程同修改操作
题目不同，选用不同的数据结构来维护值，通常有线段树和splay
转载于黄学长博客。

代码

#include<cstring>#include<iostream>#include<cstdio>#include<cmath>#define inf 0x7fffffff#define N 30005 #define M 60005int n,q,tim,tot;int v[N],dep[N],size[N],head[N],fa[N];int pos[N],top[N],son[N];int ret[M],Next[M],Head[M];struct seg{int l,r,mx,sum;}t[100005];using namespace std;void ins(int x,int y){    tot++;    ret[tot]=y;    Next[tot]=Head[x];    Head[x]=tot;}void init(){    cin>>n;    for (int i=1;i<n;i++){        int x,y;        scanf("%d%d",&x,&y);        ins(x,y);        ins(y,x);    }    for (int i=1;i<=n;i++){        scanf("%d",&v[i]);    }}void dfs1(int u){    size[u]=1;    for (int i=Head[u];i!=0;i=Next[i]){        int v=ret[i];        if (v!=fa[u]){            dep[v]=dep[u]+1;            fa[v]=u;            dfs1(v);            size[u]+=size[v];            if (son[u]==0||size[v]>size[son[u]]){                son[u]=v;            }        }    }}void dfs2(int u,int chain){    tim++;    pos[u]=tim;    top[u]=chain;    if (son[u]!=0){        dfs2(son[u],chain);    }    for (int i=Head[u];i!=0;i=Next[i]){        int v=ret[i];        if (v!=son[u]&&v!=fa[u]){            dfs2(v,v);        }    }}void build(int k,int l,int r){    t[k].l=l;t[k].r=r;    if (l<r){        int mid=(l+r)/2;        build(k*2,l,mid);        build(k*2+1,mid+1,r);    }}void change(int k,int x,int y){    if (t[k].l==t[k].r&&t[k].l==x){        t[k].sum=y;        t[k].mx=y;        return;    }    int mid=(t[k].l+t[k].r)/2;    if (mid>=x){        change(k*2,x,y);    }else{        change(k*2+1,x,y);    }    t[k].sum=t[k*2].sum+t[k*2+1].sum;    t[k].mx=max(t[k*2].mx,t[k*2+1].mx);}int querysum(int k,int x,int y){    int l=t[k].l,r=t[k].r,mid=(l+r)/2;    if(l==x&&y==r)return t[k].sum;    if(y<=mid)return querysum(k*2,x,y);    else if(x>mid)return querysum(k*2+1,x,y);    else {return querysum(k*2,x,mid)+querysum(k*2+1,mid+1,y);}}int querymx(int k,int x,int y){       int l=t[k].l,r=t[k].r,mid=(l+r)>>1;    if(l==x&&y==r)return t[k].mx;    if(y<=mid)return querymx(k<<1,x,y);    else if(x>mid)return querymx(k<<1|1,x,y);    else {return max(querymx(k<<1,x,mid),querymx(k<<1|1,mid+1,y));}}int solvemx(int x,int y){    int mx=-inf;    while (top[x]!=top[y]){        if (dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y);        mx=max(mx,querymx(1,pos[top[x]],pos[x]));        x=fa[top[x]];    }    if (pos[x]<pos[y]) swap(x,y);      mx=max(mx,querymx(1,pos[y],pos[x]));    return mx;}int solvesum(int x,int y){    int sum=0;    while (top[x]!=top[y]){        if (dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y);        sum+=querysum(1,pos[top[x]],pos[x]);        x=fa[top[x]];    }    if (pos[x]<pos[y]) swap(x,y);      sum+=querysum(1,pos[y],pos[x]);    return sum;}void solve(){    build(1,1,n);    for (int i=1;i<=n;i++){        change(1,pos[i],v[i]);    }    int q;    cin>>q;    while (q--){        char ch[10];        int x,y;        scanf("%s%d%d",ch,&x,&y);        if(ch[0]=='C'){            v[x]=y;change(1,pos[x],y);        }else{            if(ch[1]=='M')               printf("%d\n",solvemx(x,y));            else                printf("%d\n",solvesum(x,y));        }    }}int main(){    init();    dfs1(1);    dfs2(1,1);    solve();}