51nod 1006 1006 最长公共子序列Lcs

写在前面，这个代码调试了很久才弄出来，最后还是发现下标有问题，以后处理这种数组下标的问题还是要明确矩阵下标范围

（1） Ax ＝ By

那么它们L(Ax, By)的最后一项一定是这个元素！

为什么呢？为了方便，我们令t = Ax = By, 我们用反证法：假设L(x,y)最后一项不是t，

则要么L(x,y)为空序列（别忘了这个），要么L(x,y)的最后一项是Aa＝Bb ≠ t, 且显然有a < x, b < y。无论是哪种情况我们都可以把t接到这个L(x,y)后面,从而得到一个更长的公共子序列。矛盾！

如果我们从序列Ax中删掉最后一项ax得到Ax-1,从序列By中也删掉最后一项by得到By-1，(多说一句角标为0时，认为子序列是空序列)，则我们从L(x,y)也删掉最后一项t得到的序列是L(x – 1, y - 1)。为什么呢？和上面的道理相同，如果得到的序列不是L(x - 1, y - 1)，则它一定比L(x - 1, y - 1)短（注意L（，）是个集合！），那么它后面接上元素t得到的子序列L(x,y)也比L(x - 1, y - 1)接上元素t得到的子序列短，这与L(x, y)是最长公共子序列矛盾。

因此L(x, y) = L(x - 1, y - 1) 最后接上元素t

LCS(Ax, By) = LCS(x - 1, y - 1) + 1

（2）  Ax ≠ By

仍然设t = L(Ax, By), 或者L(Ax, By)是空序列（这时t是未定义值不等于任何值）。

则t  ≠ Ax和t  ≠ By至少有一个成立，因为t不能同时等于两个不同的值嘛！

（2.1） 如果t  ≠ Ax，则有L(x, y)= L(x - 1, y)，因为根本没Ax的事嘛。

 LCS(x,y) = LCS(x – 1, y)

（2.2） 如果t  ≠ By,l类似L(x, y)= L(x , y - 1)

LCS(x,y) = LCS(x, y – 1)

可是，我们事先并不知道t，由定义，我们取最大的一个，因此这种情况下,有LCS(x,y) = max(LCS(x – 1, y) , LCS(x, y – 1))。
看看目前我们已经得到了什么结论：

LCS(x,y) = 
(1) LCS(x - 1,y - 1) + 1 如果Ax ＝ By
(2) max(LCS(x – 1, y) , LCS(x, y – 1)) 如果Ax ≠ By

这时一个显然的递推式，光有递推可不行，初值是什么呢？

显然，一个空序列和任何序列的最长公共子序列都是空序列！所以我们有:

LCS(x,y) = 
(1) LCS(x - 1,y - 1) + 1 如果Ax ＝ By
(2) max(LCS(x – 1, y) , LCS(x, y – 1)) 如果Ax ≠ By

(3) 0 如果x = 0或者y = 0

仍然考虑那个递推式，我们LCS(x,y)的值来源的三种情况：

（1） LCS(x – 1,  y – 1) + 1如果Ax ＝ By
这对应L(x,y) = L(x,- 1 y- 1)末尾接上Ax

（2.1） LCS(x – 1, y)  如果Ax ≠ By且LCS(x – 1, y) ≥LCS(x, y – 1)
这对应L(x,y)= L(x – 1, y)
（2.2） LCS(x, y – 1)  如果Ax ≠ By且LCS(x – 1, y) <LCS(x, y – 1)
这对应L(x,y) = L(x, y – 1)

（3） 0 如果 x

=0或者y = 0
这对应L(x,y)=空序列

注意(2.1)和(2.2) ，当LCS(x – 1, y) ＝ LCS(x, y – 1)时，其实走哪个分支都一样，虽然长度时一样的，但是可能对应不同的子序列，所以最长公共子序列并不唯一。

//@auther zhou//@Number 201408070203//@start time：//@finish time：/*@此处注意：*//* 测试数据*/#include<iostream>#include<cstring>#include<vector>#include<cmath>#include<algorithm>using namespace std;int dp[1002][1002]={0};int main(){string a1,a2;cin>>a1>>a2;int l1=a1.length(),l2=a2.length();//cout<<"a1:"<<a1<<"a2:"<<a2<<"over"<<endl;/*abcbdab bdcaba*/for(int i=0;i<=l1;i++){for(int j=0;j<=l2;j++){if(i==0||j==0) dp[i][j]=0; else if(a1[i-1]==a2[j-1]){//cout<<"a1[i]==a2[j]"<<i<<j<<a1[i]<<a2[j]<<endl;dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;}else {//cout<<"a1[i]不等于a2[j]"<<"i:"<<i<<"j:"<<j<<endl;dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);}}}//for(int i=0;i<=l1;i++){//for(int j=0;j<=l2;j++){//cout<<dp[i][j]<<" ";//}//cout<<endl;////}string x;int i=l1,j=l2;while(dp[i][j]){//else m=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);if(dp[i][j]==dp[i-1][j]){i--;}else if(dp[i][j]==dp[i][j-1])j--;else{x.push_back(a1[i-1]);i--;j--;}}for(int q=x.size()-1;q>=0;q--)cout<<x[q];return 0;}