树状数组
来源:互联网 发布:有关网络暴力的名言 编辑:程序博客网 时间:2024/06/02 03:04
如果给定一个数组,要你求里面所有数的和,一般都会想到累加。但是当那个数组很大的时候,累加就会显得太耗时了,时间复杂度为O(n),并且采用累加的方法还有一个局限,那就是,当修改掉数组中的元素后,仍然要你求数组中某段元素的和,就显得麻烦了。所以我们就要用到树状数组,它的时间复杂度为O(lgn),相比之下就快得多。下面就讲一下什么是树状数组:
一般讲到树状数组都会少不了下面这个图:
下面来分析一下上面那个图看能得出什么规律:
据图可知:c1=a1,c2=a1+a2,c3=a3,c4=a1+a2+a3+a4,c5=a5,c6=a5+a6,c7=a7,c8=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8。
分析上面的几组式子可知,当i为奇数时,ci=ai;当i为偶数时,就要看i的因子中最多有二的多少次幂,例如,6的因子中有2的一次幂,等于2,所以a6=a5+a6(由6向前数两个数的和),4的因子中有2的两次幂,等于4,所以c4=a1+a2+a3+a4(由4向前数四个数的和)。
(一)有公式:cn=a(n-2^k+1)+ …… +an (其中k为n的二进制表示中从右向左数的0的个数)。
那么,如何求2^k呢?球阀如下:
int lowbit(int x) { return x & (-x);}
lowbit()的返回值就是2^k次方的值。
求出来2^k之后,数组c的值就都出来了,接下来我们求数组中所有元素的和。
(二)求数组的和的算法如下:
(1)首先,令sum=0,转向第二步;
(2)接下来判断,如果n>0的话,就令sum=sum+cn转向第三步,否则的话,终止算法,返回sum的值;
(3)n=n-lowbit(n) (将n的二进制表示的最后一个零删掉),回第二步。
代码实现:
int sum(int n) { int sum = 0; while(n > 0) { sum += c[n]; n = n- lowbit(n); } return sum;}
(三)当数组中的元素有变更时,树状数组就发挥它的优势了,算法如下(修改为给某个节点i加上x):
(1)当i<=n时,执行下一步;否则的话,算法结束;
(2)ci=ci+x,i=i+lowbit(i) (在i的二进制表示的最后加零),返回第一步。
代码实现:
void change(int i, int x) { while(i <= n) { c[i] = c[i] + x; i = i + lowbit(i); }}
转载地址:http://www.cnblogs.com/zhangshu/archive/2011/08/16/2141396.html
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