剑指offer——矩形覆盖

1. 问题描述

我们可以用2*1的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用n个2*1的小矩形无重叠地覆盖一个2*n的大矩形，总共有多少种方法？

2. 求解方法

看似困难的题目，实际上，就是斐波那契数列的变种而已，通过画图可以清楚的看出:f(0)=0,f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3...

那么为什么不是归纳为f(n)=n呢？

大家可以看到，如果竖放一个的话，那么每一行都会被填进去1个格子，对于每一行，相当于一步走1个格子。而如果横放着的话，那么需要放两个横放的正方形，对于每一行来讲，相当于一步走2个格子。

因此，我们只需要看其中一行，因为只要对其中一行做出操作，另外一行只有唯一的一种做法。所以这问题实际是在问，有n长的格子，可以一次走一个格子，可以一次走两个格子，问有多少种走法。

算法我们在之前的2个类似的题目中讲述太多了，因此，我们不在这赘述，给出代码：

public int RectCover(int target) {        if(target<=1){            return target;        }        else{            double root=Math.sqrt(5);            return (int)Math.round(Math.pow(((1 + root)/2), target+1) / root - Math.pow(((1 - root)/2), target+1) / root);        }    }

这是最高级的代码，当然可以使用前几级的代码。

3.算法分析

3.1 就是论事

这个没什么好说的，大家可以看一下前面两章，包括斐波那契数列以及变态跳台阶。这里对于此类斐波那契数列有了一定的介绍。

3.2 思维层面

这类题目其实可以扩充为：

我们可以用m*1的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用n个m*1的小矩形无重叠地覆盖一个m*n的大矩形，总共有多少种方法？

这个其实很简单，只是往前推广了一次，其递推公式为:

f(n)=f(n−1)+f(n−m)

但是，如果我们把问题变为这样：

我们可以用m×1,m×2的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用这些小矩形无重叠地覆盖一个m×2n的大矩形，总共有多少种方法？

这个题目，我们下次再来解决。

4. 小结

这个问题本身并不难，难就难在如何想到和斐波那契数列相关，基本上采用的归纳法。然后，是对于问题本质的认识。最后，一定要学会问题转化，转化到熟悉的算法中来解决，是最快的解题过程。