204. Count Primes

题目大意：
给一个非负整数n，求小于n的素数的个数

思路：
第一反应是采用素数的定义来做。

（1）如果采用素数的定义，即不能被1和它本身整除，需要从2计算到它减一，举个栗子，如果要验证17是素数，则需要计算17 / 2，17 / 3，17 / 4 … 17 / 16，O(n)级别的复杂度。伪代码如下：

for(int i = 2; i < n; i++) {    // 此处是判断n是否可以被i整除的代码}

（2）当然，可以对其优化，我们知道，一个数不能被大于它1/2的数整除，（17的1/2是8.5） 17不能被9、10、11… 16 整除，因此可以减小循环的范围。伪代码如下：

for(int i = 2; i < n / 2 + 1; i++) {    // 此处是判断n是否可以被i整除的代码}

（3）继续优化。如果p、q的乘积为n，即p * q = n，令p为p、q中较小的那个即：p <= q，则可以推出 p <= sqrt(n)，可以继续减小循环的范围。伪代码如下：

for(int i = 2; i < sqrt(n) + 1; i++) {    // 此处是判断n是否可以被i整除的代码}

（4）当然，我也没有这么傻，如果数据量大，使用上述的方法一定会超时，所以我打了个表。首先初始化一个数组arr，里面存布尔型变量，初始化时均未True，如果arr[i] = True，表示 i 是素数，False表示 i 不是素数。这里的思路是，首先假设所有数都是素数，然后把不是素数的逐个剔除，最后剩下的都是素数。很der的思路。对于一个i，它的倍数一定不是素数，根据这个原理写了一个从2到n的循环：

for(int i = 2; i < n; i++) {    for (int j = 2; i * j < n; j++) {        // i * j 一定不是素数        arr[i*j] = False;    }}

然后就这么交了，，一共20个用例，在第18个用例时，即当n = 999983，超时！
（5）其实仔细分析一下也可以看出问题，打表打得不对，有重复判断的现象，比如15这个数，在3上判断了一次，是3的5倍。在5上又判断了一次，是5的3倍，这样就重复判断了。对于5而言，不必再计算5 * 3了，直接从5 * 5开始计算就可以了。

Python代码：

import mathclass Solution(object):    def countPrimes(self, n):        """        :type n: int        :rtype: int        """        # 打表        arr = [True for i in range(n)]        m = int(math.sqrt(n)) + 1        for i in range(2, m):            if arr[i]:               for j in range(i*i, n, i):                   arr[j] = False         count = 0        for i in range(2, len(arr)):            if arr[i]:                count += 1                print(i)        return count