ACM-完美立方

问题描述

        a³ = b³ + c³ + d³ 为完美立方等式。例如 12³ = 6³ + 8³ + 10³ 。编写一个程序，对任给的正整数 N (N≤100)，寻找所有的四元组(a, b, c, d)，使得 a³ = b³ + c³ + d³，其中 1<a, b, c, d ≤N。

输入数据

        正整数 N (N≤100)

输出要求

        每行输出一个完美立方，按照 a 的值，从小到大依次输出。当两个完美立方等式中 a 的值相同，则依次按照 b、 c、 d 进行非降升序排列输出，即 b 值小的先输出、然后 c 值小的先输出、然后 d 值小的先输出。

输入样例

24

输出样例

Cube = 6, Triple = (3,4,5)Cube = 12, Triple = (6,8,10)Cube = 18, Triple = (2,12,16)Cube = 18, Triple = (9,12,15)Cube = 19, Triple = (3,10,18)Cube = 20, Triple = (7,14,17)Cube = 24, Triple = (12,16,20)

解题思路

此题的思路非常简单：给定 4 个整数的四元组(a、 b、 c、 d)，判断它们是否满足完美立方等式 a3 = b3 + c3 + d3。对全部的四元组进行排序，依次进行判断。如果一个四元组满足完美立方等式，则按照要求输出。先判断 a 值小的四元组；两个四元组的 a 值相同，则先判断b 值小的；两个四元组的 a 值和 b 值分别相同，则先判断 c 值小的。关键是解决两个方面的问题：

        1.确定全部需要判断的四元组，并对它们进行排序。稍作分析不难发现，在这个序列中，任意一个四元组(a、 b、 c、 d)： (1) a≥6，因为 a 最小必须是 5，才能使得 b、 c、 d 分别是 3 个大于 1 的不同整数，但(5、 2、 3、 4)不满足完美立方等式的要求； (2) 1< b < c < d，否则该四元组在序列中的位置就要向前移； (3) 如果(a、 b、 c、 d)满足完美立方等式，则 b、 c、 d 都要比 a 小。
        2.避免对一个整数的立方的重复计算。 [2 N]中的每个整数 i，在整个需要判断的四元组序列中都反复出现。每出现一次，就要计算一次它的立方。在开始完美立方等式的判断之前，先用一个数组保存[2 N]中的每个整数的立方值。在判断四元组(a、 b、 c、 d)是否满足完美立方等式的要求时，直接使用存储在数组中的立方值。

参考程序

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cmath>using namespace std;int main(){int n,a,b,c,d;int cube[101];cin >> n;for(int i=1;i<=n;i++){cube[i] = i*i*i;}for(a=6;a<=n;a++){for(b=2;b<a-1;b++){if(cube[a] < cube[b] + cube[b+1] + cube[b+2]){break;}for(c=b+1;c<a;c++){if(cube[a] < cube[b] + cube[c] + cube[c+1]){break;}for(d=c+1;d<a;d++){int res = cube[b] + cube[c] + cube[d];if(cube[a] == res){printf( "Cube = %d, Triple = (%d,%d,%d)\n", a, b, c, d);}else if(cube[a] < res){break;}}}}}return 0;}