浅谈路径规划算法之Dijkstra算法

 迪杰斯特拉（dijkstra）算法是典型的用来解决最短路径的算法，也是很多教程中的范例，由荷兰计算机科学家狄克斯特拉于1959年提出，用来求得从起始点到其他所有点最短路径。该算法采用了贪心的思想，每次都查找与该点距离最的点，也因为这样，它不能用来解决存在负权边的图。解决的问题大多是这样的：有一个无向图G(V,E)，边E[i]的权值为W[i]，找出V[0]到V[i]的最短路径。

 算法的步骤如下：

（1）初始化时，S只含有源节点；

（2）从U中选取一个距离v最小的顶点k加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）；

 （3）以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源节点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值是顶点k的距离加上k到u的距离；

 （4）重复步骤（2）和（3），直到所有顶点都包含在S中。

  下面举个例子来说明这个过程，假设以A为源点。

 

 dijkstra算法实现的完整代码如下（已测试通过）：

#include<iostream>#include<algorithm>#include<cmath>#include<string>#include<cstring>#include<cstdlib>#include<map>#include<set>#include<cstdio>#include<queue>#include<list>#include<vector>#include<stack>#include<deque>using namespace std;const int maxn=107;//点的个数const int INF=0xfffffff;//不可达的距离//边的结构体struct Edge{    int from;    int to;    int dist;    Edge(int u,int v,int d):from(u),to(v),dist(d) {}};//迪杰斯特拉的结构体struct Dijkstra{    int n,m;    vector<Edge> edges;  //存边    vector<int> G[maxn]; //存邻接表    bool done[maxn];     //是否已经永久标号    int d[maxn];         //s到各个点的距离    int p[maxn];         //最短路上的一条弧    /*优先队列默认最大堆，即从大到小排列，    而迪杰斯特拉算法是寻找的最小路径，    所以要选择重载的<运算符,实现最小堆*/    struct HeapNode    {        int d,u;        bool operator < (const HeapNode& rhs) const        {            return d>rhs.d;        }    };    //初始化，将邻接表和边的vector清空    void init(int n)    {        this->n=n;        for(int i=0; i<n; i++)            G[i].clear();        edges.clear();    }    //加边    void AddEdge(int from,int to,int dist)    {        /*            无向图需要把这6行全加上            有向图只需要加前三行        */        edges.push_back(Edge(from,to,dist));        m=edges.size();        G[from].push_back(m-1); //push的是下标，因为根据下标找到的信息更全一些        edges.push_back(Edge(to,from,dist));        m=edges.size();        G[to].push_back(m-1);    }    //核心算法，迪杰斯特拉算法，S是源点    void dijkstra(int s)    {        priority_queue<HeapNode>Q; //最小堆        for(int i=0; i<n; i++)            d[i]=INF;        d[s]=0;        memset(done,0,sizeof(done));        Q.push((HeapNode){0,s}); //构造函数,传值给d,u，意思是某节点的距离和某节点        while(!Q.empty())        {            HeapNode x=Q.top();            Q.pop();            int u=x.u;            if(done[u])                continue;            done[u]=true;            for(int i=0; i<G[u].size(); i++)            {                Edge& e=edges[G[u][i]];                if(d[e.to]>d[u]+e.dist)                {                    d[e.to]=d[u]+e.dist;                    p[e.to]=G[u][i];                    Q.push((HeapNode){d[e.to],e.to});                }            }        }    }};int main(){    freopen("out.txt","r",stdin); //打开文件读取文件    Dijkstra dij;    int nodenum,edgenum,source; //节点数目、边的数目、源点    int from,to,weight;             //一条边的起点、终点和权值    cin>>nodenum>>edgenum>>source;    //初始化边图vector    dij.init(nodenum);    //加边    for(int i=1; i<=edgenum; i++)    {        cin>>from>>to>>weight;        dij.AddEdge(from,to,weight);    }    //搜索    dij.dijkstra(source);    //打印每个节点和源点的最短路    for(int i=0; i<nodenum; i++)    {        cout<<"源点到第"<<i<<"个点的最短路是："<<dij.d[i]<<endl;    }    return 0;}

输入：第一行三个数字分别是点的个数、边的条数和源点，后边9行是9条边的起点、终点和权值
6  9  0
0  1  6
0  2  3
1  3  5
1  2  2
2  3  3
2  5  4
3  5  2
3  4  3
4  5  5

输出：

源点到第0个点的最短路是：0
源点到第1个点的最短路是：5
源点到第2个点的最短路是：3
源点到第3个点的最短路是：6
源点到第4个点的最短路是：9
源点到第5个点的最短路是：7