（转载加改写）背包问题及网易CPU双核调度问题

01背包问题，是用来介绍动态规划算法最经典的例子，网上关于01背包问题的讲解也很多，我写这篇文章力争做到用最简单的方式，最少的公式把01背包问题讲解透彻。

01背包的状态转换方程 f[i,j] = Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ),  f[i-1,j] }

f[i,j]表示在前i件物品中选择若干件放在承重为 j 的背包中，可以取得的最大价值。

Pi表示第i件物品的价值。

决策：为了背包中物品总价值最大化，第 i件物品应该放入背包中吗 ？

题目描述：

有编号分别为a,b,c,d,e的五件物品，它们的重量分别是2,2,6,5,4，它们的价值分别是6,3,5,4,6，现在给你个承重为10的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？

nameweightvalue12345678910a26066991212151515b23033669991011c65000666661011d54000666661010e460006666666

只要你能通过找规律手工填写出上面这张表就算理解了01背包的动态规划算法。

首先要明确这张表是至底向上，从左到右生成的。

为了叙述方便，用e2单元格表示e行2列的单元格，这个单元格的意义是用来表示只有物品e时，有个承重为2的背包，那么这个背包的最大价值是0，因为e物品的重量是4，背包装不了。

对于d2单元格，表示只有物品e，d时,承重为2的背包,所能装入的最大价值，仍然是0，因为物品e,d都不是这个背包能装的。

同理，c2=0，b2=3,a2=6。

对于承重为8的背包，a8=15,是怎么得出的呢？

根据01背包的状态转换方程，需要考察两个值，

一个是f[i-1,j],对于这个例子来说就是b8的值9，另一个是f[i-1,j-Wi]+Pi；

在这里，

 f[i-1,j]表示我有一个承重为8的背包，当只有物品b,c,d,e四件可选时，这个背包能装入的最大价值

f[i-1,j-Wi]表示我有一个承重为6的背包（等于当前背包承重减去物品a的重量），当只有物品b,c,d,e四件可选时，这个背包能装入的最大价值

f[i-1,j-Wi]就是指单元格b6,值为9，Pi指的是a物品的价值，即6

由于f[i-1,j-Wi]+Pi = 9 + 6 = 15 大于f[i-1,j] = 9，所以物品a应该放入承重为8的背包

网易CPU调度问题

问题描述：

/*[编程题] 双核处理一种双核CPU的两个核能够同时的处理任务，现在有n个已知数据量的任务需要交给CPU处理，假设已知CPU的每个核1秒可以处理1kb，每个核同时只能处理一项任务。n个任务可以按照任意顺序放入CPU进行处理，现在需要设计一个方案让CPU处理完这批任务所需的时间最少，求这个最小的时间。输入描述:输入包括两行：第一行为整数n(1 ≤ n ≤ 50)第二行为n个整数length[i](1024 ≤ length[i] ≤ 4194304)，表示每个任务的长度为length[i]kb，每个数均为1024的倍数。输出描述:输出一个整数，表示最少需要处理的时间输入例子:53072 3072 7168 3072 1024输出例子:9216*/

问题分析：这道题目要用动态规划求解，可以转换得到背包问题上，如何转换呢？我们可以这样思考：由于有两个CPU，那么最理想的调度时间为sum/2，sum总时长，但是由于子进程不可切分，那么就需要放置一个背包，背包的重量为sum/2，能装入的值为3072 ，3072 ，7168 ，3072 ，1024，求装入哪些值可以使得背包重量最大？
那么我们就可以使用原始的背包问题来求解这个问题了。
简单的python代码示例:

value=[0,1,3,3,3,7]weight=[0,1,3,3,3,7]total=8f=np.zeros((6,9),int)for i in range(1,6):    for j in range(1,9):        if(j<weight[i]):            f[i][j] = f[i-1][j]        else:            f[i][j]=max(f[i-1][j],(f[i-1][j-weight[i]]+value[i]))print f

结果为：

[[0 0 0 0 0 0 0 0 0] [0 1 1 1 1 1 1 1 1] [0 1 1 3 4 4 4 4 4] [0 1 1 3 4 4 6 7 7] [0 1 1 3 4 4 6 7 7] [0 1 1 3 4 4 6 7 8]]

可见最少用时为8，也就是8*1024=9216

总结

我也是刚刚学习到动态规划，有几点粗浅的理解：

1. 动态规划刚刚开始确实不直观，不易理解，花些功夫看，多想想，总能理解；
2. 将问题化为求解子问题，前一个子问题最值问题求解了，如果你找到子问题与当前问题的关系，那么当前问题就解决了，是一个迭代的过程。就比如这里的状态转移公式，求当前的状态必须依靠之前的状态。
3. 将搜索进行记忆化，也就是说，之前的状态全部存储起来，在计算后面的状态时依靠前面的状态，此时前面的状态已经存储起来，可以直接使用。