动态规划-最大子矩阵

描述

已知矩阵的大小定义为矩阵中所有元素的和。给定一个矩阵，你的任务是找到最大的非空(大小至少是1 * 1)子矩阵。

比如，如下4 * 4的矩阵

0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2

的最大子矩阵是

9 2
-4 1
-1 8

这个子矩阵的大小是15。

输入

输入是一个N * N的矩阵。输入的第一行给出N (0 < N <= 100)。再后面的若干行中，依次（首先从左到右给出第一行的N个整数，再从左到右给出第二行的N个整数……）给出矩阵中的N²个整数，整数之间由空白字符分隔（空格或者空行）。已知矩阵中整数的范围都在[-127, 127]。

输出

输出最大子矩阵的大小。

样例输入

40 -2 -7 0 9 2 -6 2-4 1 -4  1 -18  0 -2

样例输出

15

一般的做法依然是枚举：枚举子矩阵最上和最下的行以及最左和最右的列，但仅是这样就已经是O(N^4) 的复杂度了。对于N <= 100 以及1s 的时限来说，这样的做法是不能够接受的。

如何根据子矩阵的特性来解决此题？

正确解法：每次枚举子矩阵最上的行u 和最下的行 d，再把这个子矩阵每一列的值相加，压缩成一个一维的数组，对这个数组求其最大子段和，这样就相当于把所有最上的行为u 并且最下的行为 d 的最大子矩阵和求出来了。

下面是我的ac代码：

#include<iostream>using namespace std;#define N 103int fun(int b[N],int n){    int i,max,c;    c=0;    max=0;    for(i=1;i<=n;i++)    {        if(c>0)c=c+b[i];        else c=b[i];        if(max<c)max=c;    }    return max;}int main(){    int i,j,n,max,sum,k;    int  a[N][N],b[N];    cin>>n;    for(i=1;i<=n;i++)    {        for(j=1;j<=n;j++)        {            cin>>a[i][j];        }    }    max=0;    for(i=1;i<=n;i++)    {        for(j=1;j<=n;j++)        {            b[j]=0;        }        for(j=i;j<=n;j++)        {            for(k=1;k<=n;k++)            {                b[k]+=a[j][k];            }            sum=fun(b,n);            if(max<sum)max=sum;        }    }    cout<<max;    return 0;}