数论 欧几里得

最大公约数算法

欧几里得算法：

算法分析：

欧几里德算法是计算最大公约数的传统算法,也是最简单的算法,效率很高
时间复杂度:O(lgn)(最坏情况:斐波那契数列相邻的两项)
空间复杂度:O(1)

但是,对于大整数来说,取模运算非常耗时

Stein算法

算法分析

渐近时间,空间复杂度均与欧几里德算法相同
原理:gcd(ka,kb)=k*gcd(a,b)
最大特点:只有移位和加减法计算,避免了大整数的取模运算

代码：

unsigned MaxDivisor(unsigned a, unsigned b)   {       unsigned c = 0;       while(1)      {       // 退出条件           if(a==0)               return b << c;          else if(b == 0)               return a << c;      // 为提高速度，采用位的与运算，避免用取模判断奇偶           if(!(a & 1) && !(b & 1)) //a,b 都是偶数           {               a >>= 1; b >>= 1; ++c;           }           else if(!(a & 1) && (b & 1)) //a偶 b奇           {               a >>= 1;           }           else if((a & 1) && !(b & 1)) //a奇 b偶           {               b >>= 1;           }           else if((a & 1) && (b & 1)) //a,b都是奇数           {               unsigned tmp = a>b?b:a; //取较小的一个               a = a>b?a-b:(b-a); //绝对差值              b = tmp;           }       }  } 

扩展欧几里德算法

算法分析：对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

【证明】

设 a>b

1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；
2，ab!=0 时
设 :ax1+by1=gcd(a,b);
显然也有：bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);
根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);
则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;

根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;

这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.

上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。

//递归代码int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)  {      if(b==0)      {          x=1;          y=0;          return a;      }      int r=exgcd(b,a%b,x,y);      int t=x;      x=y;      y=t-a/b*y;      return r;  }  //非递归代码int exgcd(int m,int n,int &x,int &y)  {      int x1,y1,x0,y0;      x0=1; y0=0;      x1=0; y1=1;      x=0; y=1;      int r=m%n;      int q=(m-r)/n;      while(r)      {          x=x0-q*x1; y=y0-q*y1;          x0=x1; y0=y1;          x1=x; y1=y;          m=n; n=r; r=m%n;          q=(m-r)/n;      }      return n;  }  

应用

扩展欧几里德算法的应用主要有以下三方面：

（1）求解不定方程；

（2）求解模线性方程（线性同余方程）；

（3）求解模的逆元；