无向图的割顶和桥

对于无向图G， 如果删除某个点u后， 连通分量数目增加， 称u为图的
关节点（ articulation vertex） 或割顶（cut vertex） 。 对于连通图， 割顶就
是删除之后使图不再连通的点。
如何求出图的所有割顶呢？ 我们有两个选择。
选择一： 尝试删除每个结点， 然后用DFS判断连通分量是否增加， 时
间复杂度为O（ n（n＋m） ） ， 其中n和m分别是图中的点数和边数。
选择二： 深入挖掘DFS的性质， 在线性时间（ 即O（n＋m） 时间） 内
求出所有割顶。
毫无疑问， 第二个选择比“删除－测试”的方法高效许多， 并且达到了
理论下界， 是理想的方案。 下面我们就来学习这个方法。
时间戳。 本节的算法依赖于“时间戳”这个概念。 反应到代码中， 只需
在PREVISIT（ u） 和POSTVISIT（u） 中加如下代码， 就可以为每个结点记
录两个时间戳。
其中， 全局的“当前时间”dfs_clock初始化为0。 不难发现， 当所有结
点都访问过以后， dfs_clock的值将等于2m。
如图5-4所示是一个无向图和对应的DFS森林， 每个结点u均标记以
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pre[u]和post[u]。 强烈建议读者根据自己的理解模拟DFS过程， 看看是否
能得到相同的DFS森林。 执行dfs（u） 时， 应当按照字母从小到大的顺序
考虑u的各个子结点。
图 5-4
边分类。 注意无向图的每条边（ u，v） 会处理两次： 访问u的时候一
次， 访问v的时候一次。 DFS森林中的边称为树边（ tree edge） 。 第一次处
理时从后代（ descendant） 指向祖先（ancestor） 的边称为反向边（back
edge） 。 在无向图中， 除了树边之外， 其他边都是反向边。 有向图除了树
边和反向边外还有前向边（ forward edge） 和交叉边（cross edge） ， 这里
不再赘述。
割顶和桥的条件。 简单起见， 我们只考虑连通图。 在这样的情况
下， DFS森林一定只有一棵树。 树根是不是割顶呢？ 不难发现， 当且仅当
它有两个或更多的子结点时， 它才是割顶——无向图只有树边和反向
边， 不存在跨越两棵子树的边。 对于其他点， 情况就要复杂一些。 我们
有下面的定理。
定理： 在无向连通图G的DFS树中， 非根结点u是G的割顶当且仅当u
存在一个子结点v， 使得v及其所有后代都没有反向边连回u的祖先（ 连回u
不算） 。
证明： 如图5-5所示， 考虑u的任意子结点v。 如果v及其后代不能连
回f， 则删除u之后，f和v不再连通； 反过来， 如果v或它的某一个后代存
在一条反向边连回f， 则删除u后， 以v根的整棵子树中的所有结点都可以
利用这条反向边与f连通。 如果所有子树中的结点都和f为连通， 根据“连
通”关系的传递性， 整个图就是连通的。
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图 5-5
方便起见， 设low（u） 为u及其后代所能连回的最早的祖先的pre值，
则定理中的条件就可以简写成结点u存在一个子结点v， 使得low（v）
≥pre（ u） 。
作为一种特殊情况， 如果v的后代只能连回v自己（ 即low（v） ＞
pre（ u） ） ， 只需删除（u，v） 一条边就可以让图G非连通了， 满足这个
条件的边称为桥（ bridge） 。 换句话说， 我们不仅知道结点u是割顶， 还
知道了（ u， v） 是桥。
注意对于每个割顶或者桥来说， 上述条件可能不止成立一次， 所以
一般不要边判定边输出， 而是用数组来记录每个结点是不是割顶， 以及
每条边是不是桥， 最后一次性输出。
low函数的计算。 现在唯一的问题是low函数本身的计算， 它可以用
下面的代码来递推计算。 注意， 代码中已经加入了割顶的判断， 桥的判
断留给读者。
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每次递归访问结束时， 该结点的low函数就被正确计算出来了。 在上
面的代码中， 最容易写错的是， 漏掉v不等于fa的判断。 边（u，fa） 不是
反向边， 而是树边（ fa， u） 的第二次访问。 在调用这个代码之前不要忘
记把所有结点的pre初始化为0， 且第一次调用时，fa的值应该等于负数。