动态规划入门（五）

今天，我们初步接触背包问题，主要针对于背包中的完全背包和01背包的原理及拓展进行讲述。

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1.01背包
01背包指在一个有n件物品，一个容积为m的背包这样一个情况下，使能装下的物品价值最高。(w[i]表示重量，c[i]表示价值)
拿到这一题，首先想是否满足于DP的原理（因为求最优值），那么一看，先列出一个阶段n，表示前n件物品，状态j表示装的物品总容积为j，那么可设：f[i][j]——表示前i件物品构成j的体积的最大价值，那么如何写状态转移方程呢？因为是01背包，所以可以取或不取，那么就分成了两种情况：
①如果j>=w[i]，那么f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-a[i]]+c[i]);//这是可以取的情况。
②如果j小于w[i]，那么f[i][j]=f[i-1][j];//这是取不了的情况。
结果就出来了，那么我们可以对应写出程序：

#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#include<iostream>using namespace std;int w[1001],c[1001];int f[1001][1001];int main(){    int i,j,k,n,m;    cin>>m>>n;    for(i=1;i<=n;i++)        cin>>w[i]>>c[i];    for(i=1;i<=n;i++)        for(j=m;j>0;j--)            if(j>=w[i])                f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-w[i]]+c[i]);            else f[i][j]=f[i-1][j];    printf("%d\n",f[n][m]);    return 0;}

拓展：01背包的优化：
我们要想到，因为这个算法是O（n*m）的，空间容量也是如此，那么一旦m比较大，那会爆空间啊！怎么办呢？这使我们要用到一个神奇的数组——滚动数组。
我们如果用f[j]表示不超过j公斤的最大价值，其他变量不变，那么状态转移方程怎么写呢？
f[j]=max(f[j],f[j-a[i]]+c[i]);
这样就能够优化空间了，具体看程序：

#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#include<iostream>using namespace std;int w[20001],c[20001],f[20001];int main(){    int i,j,k,n,m;    cin>>m>>n;    for(i=1;i<=n;i++)        cin>>w[i]>>c[i];    for(i=1;i<=n;i++)        for(j=m;j>=w[i];j--)            f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+c[i]);    cout<<f[m]<<endl;    return 0;}

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2.完全背包
完全背包不同于01背包的，在于完全背包有n种物品，每种有无限个，那么我们还是按照01背包的思路想，设f[i][j]表示前i种取出重量不超过j的最大价值，那么状态转移方程就出来了（因为每一件物品虽然可以取无数件，但是因为不能超过上限，所以最多取m/w[i]件）：
f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-k*w[i]]+k*c[i]);
程序如下：

#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#include<iostream>using namespace std;int w[2001],c[2001],f[2001][2001];int main(){    int i,j,k,n,m;    cin>>n>>m;    for(i=1;i<=n;i++)        cin>>w[i]>>c[i];    for(i=1;i<=n;i++)        for(j=m;j>=1;j--)            for(k=0;k<=m/w[i];k++)                if(k*w[i]<=j)f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-w[i]*k]+c[i]*k);    cout<<f[n][m]<<endl;    return 0;}

那么，有没有更方便的呢？我们能不能优化时间复杂度呢？答案是肯定的，我们想想，01背包的j从后往前推是为了不让每一个物件多取，而完全背包正是需要让每一个物件多取，所以我们完全可以把j的循环顺序倒过来，从0~v，那么看程序：

#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#include<iostream>using namespace std;int w[2001],c[2001],f[1001][1001];int main(){    int i,j,k,n,m;    cin>>m>>n;    for(i=1;i<=n;i++)        cin>>w[i]>>c[i];    for(i=1;i<=n;i++)        for(j=1;j<=m;j++)            if(j>=w[i])f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-w[i]]+c[i]);            else f[i][j]=f[i-1][j];    cout<<f[n][m]<<endl;    return 0;}

这时，我们就转换到了一个01背包，那么空间还能不能优化呢？再一次掌声请出滚动数组，程序如下：

#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#include<iostream>using namespace std;int w[2001],c[2001],f[2001];int main(){    int i,j,k,n,m;    cin>>m>>n;    for(i=1;i<=n;i++)        cin>>w[i]>>c[i];    for(i=1;i<=n;i++)        for(j=1;j<=m;j++)            if(j>=w[i])f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+c[i]);    cout<<f[m]<<endl;    return 0;}

拓展：完全背包用二进制转化成01背包
我们在上文讲过，因为完全背包中的每一件物品最多取m/w[i]个，那么我们可以把他们按照二进制分解成为01背包，他们可以按照二进制的系数分组，如：1,2,4……，如果不够再分，那么就剩下的就自成一组！具体见代码：

#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#include<iostream>using namespace std;int w[100001],c[100001],f[100001];int main(){    int i,j,k,n,m,a,b;    cin>>m>>n;    int n1=0;    for(i=1;i<=n;i++){        cin>>a>>b;        k=m/b;        int t=1;        while(k>=t){            w[++n1]=a*t;c[n1]=b*t;            k-=t;t*=2;        }        c[++n1]=b*k;w[n1]=a*k;    }     for(i=1;i<=n1;i++)        for(j=m;j>=w[i];j--)            f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+c[i]);    cout<<f[m]<<endl;    return 0;}

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