【计算机组成原理】第2章 运算方法和运算器

2.1 数据与文字的表示方法

2.1.1 数据样式

在选择计算机的表示方法时，要考虑
1. 数的类型（小数，整数，实数和复数）
2. 数值范围
3. 数值精确度
4. 数据存储和处理所需的硬件代价

计算机中常用的数据表示格式：1. 定点格式；2. 浮点格式
定点格式：数据范围有限，要求的处理硬件比较简单
浮点格式：数据范围较大，要求的处理硬件比较复杂

1.定点数的表示方法：

参与运算的数的小数点位置固定不变。

Xn  Xn−1 ... X1 X0 符号 量值（尾数）

纯小数：

小数点在Xn和Xn−1之间。
小数点固定在最高位之后称为定点小数。若机器字长为n+1位，数值表示为：
X=Xn.Xn−1 ... X1 X0，其中Xi=0,1,0≤i≤n（这里Xn不表示数字，只表示符号，若Xn=0，则代表X=0. Xn−1 ... X1 X0，Xn=1，则代表−0. Xn−1 ... X1 X0。
例如：1111表示-0.875
绝对值最小：各位均为0，|X|min=0;
绝对值最大：各位均为1，|X|max=1−2−n;

纯整数：

小数点在X0右边。
绝对值最小：各位均为0，|X|min=0;
绝对值最大：各位均为1，|X|max=2n−1;
PS:
0.1111111 = 1.0000000 - 0.0000001 = 1 - 2−7;
0 1111111 = 1 0000000 - 1 = 27 - 1;

2.浮点数的表示方法：

1. 任意十进制N 可以写成 N=10E.M
2. 任意二进制N 可以写成 N=2e.M
   -M 为浮点数的尾数，是一个纯小数
   -e 是比例因子的指数，称为浮点数的指数，是一个整数

IEEE754标准

S E M 31(1) 30———23(8) 22———0(23)

-S 是符号位，占1位，S = 0表示正数，S = 1表示负数。
-E 是阶码，占用8位；阶码采用移码方法来表示正负指数。
指数真值变成阶码E 时，e+127=E.
当尾数的值不为0时，尾数域的最高位应为1，这称为浮点数的规格化表示。否则以修改阶码的同时左右移动小数点位置的方法，使其变成规格化数形式。
32位浮点数x的真值表示：
x=(−1)S×(1.M)×2 E−127;
e+127=E.
其中尾数域所表示的值是1.M。由于规格化的浮点数的尾数域最左位（最高有效位）总是1，故这一位经常不予存储，而认为隐藏在小数点的左边。于是23位字段可以存储有效数。

---

例1：(754标准转化10进制)
若浮点数x的754标准存储格式为(41360000)16 ，求其浮点数的十进制数值。
将16进制转化成二进制：

S 符号位 E 阶码 M 尾数 0 100 0001 0 011 0110 0000 0000 0000 0000 31(1) 30———23(8) 22———0(23)

指数 e = 阶码 - 127=10000010 - 00000011 =(3)10
包括隐藏位1的尾数1.M = 1.011 0110 0000 0000 0000 0000 = 1.011011
x=(−1)S×(1.M)×2 e=+(1.011011)×23 = +1011.011 =(11.375)10
例2：(10进制转化754标准)
将数(20.59375)10 转换成754标准的32位浮点数的二进制存储格式。
1.转化成二进制：20.59375=10100.10011
2.规格化表示：10100.10011=1.010010011×24 e=4
3.得符号位S=0,阶码E=4+127=131=10000011，M=010010011
解得：

S 符号位 E 阶码 M 尾数 0 100 0001 1 010 0100 1100 0000 0000 0000 31(1) 30———23(8) 22———0(23)

---

3.十进制数串的表示方法：

1). 字符串形式：即一个字节存放一个十进制的数位或符号位。主要用于非数值计算的应用领域中。
2). 压缩的十进制数串形式：即一个字节存放两个十进制的数位。节约空间，便于直接完成十进制数的算术运算，是广泛采用的较为理想的方法。每个数位占用半个字节（即4个二进制为）

2.1.2 数的机器码表示

把符号位和数值位一起来编码来表示相应数的各种表示方法，如原码，补码，反码，移码。
一般书写表示的数称为真值，机器中这些编码表示的数，称为机器码或者机器数。

1. 原码表示法

若定点整数的原码形式为Xn.Xn−1 ... X1 X0(Xn为符号位)，则原码的定义为：
[x]原={x,2n−x=2n+|x|,2n>x≥0 0≥x>−2n
[x]原 是机器数，x 是真值。
其实就是正数&&0的真值保持不变，真值为负数的原码在最左边（Xn）添1，这样一看，定义那个式子不就满足了。

例：x=−1001, 则原码[x]原=11001<=24−(−x)

2.反码表示法

简单：
正数的反码就是原码.
负数的反码就是原码的符号位不变，然后其余位上全部取反（0->1/1->0）.

3. 补码表示法

补码和真值的关系：

设一个二进制整数补码有n+1 位（含1位符号位 xn）,即：

[x]补=xn.xn−1 ... x1 x0

1.当x 为正整数的时候，

x=∑n−1i=02ixi=0xn−1 ... x1 x0

2.当x 为负整数的时候，

x=−2nxn+∑n−1i=02ixi=1xn−1 ... x1 x0

3.当x 为0的时候

[x]补=[+0]补=[−0]补=0

则其补码表示的真值为[推荐补码记个公式]

x=−2nxn+∑n−1i=02ixi

例一：

已知[x]补=01001，求x=
x=0×24+1×23+0×22+0×21+1×20=9

例二：

已知[x]补=11001，求x=
x=−1×24+1×23+0×22+0×21+1×20=−7

原码转补码：

1.一个正整数，都一样
2.一个负整数，1）原码符号位不变，整数的每一位二进制求反得到反码。2）反码符号位不变，反码最低位+1，得到补码。

---

So, 正数的原、反、补码都一样：0的原码跟反码都有两个，因为这里0被分为+0和-0。

---

4. 移码表示法

移码通常用于表示浮点数的阶码。
由于阶码是个k的整数，假定定点整数移码形式为 ekek−1⋅⋅⋅e2e1e0（最高位为符号位）时，移码的传统定义为

[e]移 = 2k + e
[e]移为机器数，e为真值，2k是一个固定的偏移值常数

举例：

阶码数值部分是5，以 e 表示真值，则[e]移 = 25 + e
So:

当正数 e=+10101，时，[e]移=1，10101；
当负数 e=−10101，时，[e]移= 25 + e=25 − 1，10101=0，01011；

---

搞到这里真的要亲切愉快地说一下，原码，反码，补码，移码的基本姿势，讲完惹！！！
现在来讨论一下，对于机器字长为 n 位，定点表示，尾数 n−1 位，【对于由原码，反码，补码表示时】，符号位1位的数值范围或说一下最大整数和最大负数
1.原码：
很简单啊，
最大值，正数的话全是1（除了符号位）：0...11111=2n−1
最小值，还是全是1然后添个负号呗：1...11111=−(2n−1)
2.反码：
正数的原码和反码一样：0...11111=2n−1
负数还是类似与原码：1...00000=−(2n−1)
3.补码：
还记得补码和真值的关系嘛？
就是符号位是减(−2n)，其余位都是加(+2k)
那么显然的：
正数的话，符号位不要减，其他都加了：0...11111=2n−1
负数的话，符号位要减，其他都不要加：1...00000=−2n【哇，好神奇啊】

IEEE754标准：
32位浮点数x的真值表示：
x=(−1)S×(1.M)×2 E−127;
e+127=E.
例【9】：
假设由S,E,M三个域组成的一个32位二进制数所表示的非零规格化浮点数x，真值表示为（注意此例不是IEEE格式 见上）
x=(−1)S×(1.M)×2 E−128;

S 符号位 E 阶码 M 尾数 0 00 000 000 000 0000 0000 0000 0000 0000

1.最大正数：M大，E大，符号位0

0 11 111 111 111 1111 1111 1111 1111 1111

x=(−1)0×(1+(1−223))×2 127;
同理，最小正数，最大负数，最小负数。

---

2.1.3 字符与字符串的表示方法

字符信息用数据表示，称为符号数据。
国际版为IRA码，美国版称为ASCII码。
打印机设备可以打印95个字符；另外33个字符被用作操作码，控制计算机某些外围设备的工作特性和某些计算机软件的运行情况。

2.1.4 汉字的表示方法

汉字的输入编码

1. 数字编码
   常用的国际区位码。实际上把汉字表示成一个二维数组。区码和位码各两位十进制数字。
2. 拼音码
   以汉语拼音为基础的输入方法。
3. 字形码
   字形编码是汉字的形状来进行的编码。

2.1.4 校验码

数据位中1的个数有偶数个，偶校验C为0；奇数个，奇校验C为0。

数据 偶校验编码C 奇校验编码C 10101010 10101010 0 10101010 1 01010100 01010100 1 01010100 0 11111111 11111111 0 11111111 1

2.2 定点加法，减法运算

2.2.1补码加法

公式：
[x]指机器码

[x]补+[y]补=[x+y]补
证明略.

例子

例1.x=+1011,y=−0101,求x+y
[x]补=0，1011
[y]补=1，1011
[x+y]补=10，0110
x+y=+0110
注意：①：符号位要作为数参与运算；②：超过符号位 2n+1 的位要丢掉

2.2.2补码减法

公式：
[x]指机器码

[x]补−[y]补=[x−y]补=[x]补+[−y]补
证明略.

例子

例1.x=+1101,y=+0110,求x−y.
[x]补=0，1101
[−y]补=1，1010
[x+y]补=10，0111
x−y=+0111
补：书上有特别指出知道 [x]补 求 [−x]补【黑人问号？？？】
这不是很简单啊，如果这个x是负数，哈哈，直接去掉负号就好了，负数变成了正数，正数的补码就是原码不变；OK，正数，那我还不是要做一下负数的补码，为什么要给我再来一种方法，我不要！

---

2.2.3溢出概念与检测方法

引例1：x=+1011,y=+1001,求x+y.
[x]补=0，1011
[y]补=0，1001
[x+y]补=1，0100
正数+正数=负数显然错了！—->正溢。
引例2：x=−1101,y=−1011,求x+y.
[x]补=1，0011
[y]补=1，0101
[x+y]补=0，1000
负数+负数=正数显然错了！—->负溢。

为了判断是否溢出，第一种方法双符号位法：
注意：
①：两个符号位都要加入运算
②：超过两个符号位(2n+2)的数要舍去
IMPORTANT!!!

1.任意正数，两个符号位为”0”
2.任意负数，两个符号位为”1”

MORE IMPORTANT!!!

“01”，表正溢出
“10”，表负溢出

再度使用引例：
引例1：x=+1011,y=+1001,求x+y.
[x]补=00，1011
[y]补=00，1001
[x+y]补=01，0100
—->正溢。
引例2：x=−1101,y=−1011,求x+y.
[x]补=11，0011
[y]补=11，0101
[x+y]补=10，1000
—->负溢。

第二种方法：单符号位法。
①：当最高有效位产生进位而符号位无进位时，产生正溢。
②：当最高有效位无进位而符号位有进位时，产生负溢。
逻辑表达式可以用异或门实现。

2.5 定点运算器的组成

计算机最基本的结构：算术/逻辑运算单元、数据缓冲寄存器、通用寄存器、多路转换器和数据总线等逻辑部件。

2.5.1 逻辑运算

逻辑非运算

逻辑非也称求反。
0->1，1->0.

逻辑加运算

逻辑加又称逻辑或。常用记号”+”.
有”1”则”1”。

逻辑乘运算

逻辑乘又称逻辑乘。常用记号”·”.
两个都为1为1.

逻辑异运算

逻辑异又称按位加。常用记号”⊕”.
不同为1.

2.5.2 多功能算术/逻辑运算单元(ALU)

串行进位

Cn+1=Y0+X0Cn
Cn+2=Y1+X1Cn+1
Cn+3=Y2+X2Cn+2
Cn+4=Y3+X3Cn+3

并行进位

Cn+1=Y0+X0Cn
Cn+2=Y1+Y0X1+X0X1Cn
Cn+3=Y2+X2Y1+X2Y0X1+X2X0X1Cn
Cn+4=Y3+X3Y2+X3X2Y1+X3X2Y0X1+X3X2X0X1Cn

（算术逻辑运算单元）ALU 组内先行进位
（先行进位发生器） CLA 组件行波进位

2.5.3 内部总线

单总线结构的运算器

1.在同一时间内，只能有一个操作数放在总线上，所以数据可以在任何连个寄存器之间，或者在任一一个寄存器和ALU之间传送。
2.只有在对全部都是CPU寄存器中的两个操作数进行操作时，单总线结构的运算器才会造成一定的损失。例如，在一个输入数是从存储器来的，且运算结果又送回存储器，那么限制数据传送的主要因素时存储器访问时间。

双总线结构的运算器

1.两个操作数同时加到ALU进行运算，只需要一次操作控制。
2.ALU的输出不能直接加到总线上去。因为形成操作结果的输出时，两条总线都被输入数占据，因而必须在ALU输出端设置数据缓冲寄存器。

三总线结构的运算器

1.ALU的输入输出端都有总线相连。
2.操作时间快。

2.5.4 定点运算器的基本结构

2.6 浮点运算和浮点运算器

补一个姿势–十进制分数/小数转二进制：

例：
9/16=0.5625
0.5625重复乘以2，并且每次取个位，则
0.5625*2=1.125 取整数部分1（最高位） 小数部分0.125
0.125*2=0.25 整数部分是0 小数部分0.25
0.25*2=0.5 整数部分是0 小数部分0.5
0.5*2=1 整数部分是1（最低位） 小数部分是0
则0.5625对应的二进制数为0.1001【除不尽考虑有效位数限制】

2.6.1 浮点加法，减法运算

直接举个例题

设x=0.510，y=−0.437510，假设尾数有效位为4位，用二进制形式求(x+y)浮.
解：
首先：先化成二进制，要求化成1.M×10k 形式
x=0.510=1.0002× 2−1
y=−0.437510=−1.1102× 2−2
第一步：小阶对大阶（这里是 y 的阶比 x 的小
y=−0.437510=−1.1102× 2−2=−0.1112×2−1
第二步： 尾数相加
x+y=1.0002× 2−1+(−0.1112×2−1)=0.0012×2−1
第三步：规格化
x+y=0.0012×2−1=1.0002× 2−4
第四步：检查上溢或下溢
−126≤−4≤127 ，求和结果既无上溢也无下溢
第五步：舍入操作
此时尾数有效位正好是4位，舍入时无需做任何改变

2.6.2 浮点乘法，除法运算

想不到的是这个比浮点加法，减法简单。
直接举个例题

设有浮点数 x=0.510，y=−0.437510，用二进制求(x+y)浮。
首先把十进制化成二进制
x=0.510=1.0002× 2−1
y=−0.437510=−1.1102× 2−2
第一步：将 x 和 y 的指数部分相加：
ex+ey=−1+(−2)=−3
第二步：尾数相乘
1.000×1.110（模拟一下乘法
得1110000
得到乘积为1.1100002×2−3
由于只需要4位有效数，所以最终修正结果：1.1102×2−3
第三步：规格化与溢出检查
−126≤−3≤127 ，求和结果既无上溢也无下溢
第四步：确定积符号，为负号，得(x+y)浮=−1.1102×2−3