花匠——动态规划

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题目来源

洛谷P1970

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题目描述

花匠栋栋种了一排花，每株花都有自己的高度。花儿越长越大，也越来越挤。栋栋决定

把这排中的一部分花移走，将剩下的留在原地，使得剩下的花能有空间长大，同时，栋栋希望剩下的花排列得比较别致。

具体而言，栋栋的花的高度可以看成一列整数h1,h2..hn。设当一部分花被移走后，剩下的花的高度依次为g1,g2..gn，则栋栋希望下面两个条件中至少有一个满足：

条件 A：对于所有g(2i) > g(2i-1),g(2i) > g(2i+1)

条件 B：对于所有g(2i) < g(2i-1),g(2i) < g(2i+1)

注意上面两个条件在m = 1时同时满足，当m > 1时最多有一个能满足。

请问，栋栋最多能将多少株花留在原地。

输入输出格式

输入格式：
输入文件为 flower .in。

输入的第一行包含一个整数n，表示开始时花的株数。

第二行包含n个整数，依次为h1,h2..hn,表示每株花的高度。

输出格式：
输出文件为 flower .out。

输出一行，包含一个整数m，表示最多能留在原地的花的株数。

输入输出样例

输入样例#1：
5
5 3 2 1 2
输出样例#1：
3

【输入输出样例说明】

有多种方法可以正好保留 3 株花，例如，留下第 1、4、5 株，高度分别为 5、1、2，满

足条件 B。

【数据范围】

对于 20%的数据，n ≤ 10；

对于 30%的数据，n ≤ 25；

对于 70%的数据，n ≤ 1000，0 ≤ ℎi≤ 1000；

对于 100%的数据，1 ≤ n ≤ 100,000，0 ≤ hi≤ 1,000,000，所有的hi 随机生成，所有随机数服从某区间内的均匀分布。

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解题思路

• 条件 A 与 B 只要求下标为偶数的数据与其两侧数据的关系，因此具有动态规划的标志——无后效性
• 用变量 up 表示长度为 uplen 且满足条件 A 的序列的尾值
• 用变量 low 表示长度为 lowlen 且满足条件 B 的序列的尾值
• 用 flower[i] 表示输入的第 i 的数据 （下同） 。
• 维护 up 和 uplen 的方法：
  
  • 当 uplen 为偶数时，说明此时满足条件 A 的最长序列需要在其后追加一个小于其尾值的数据，那么当 flower[i] 小于 up 时，可以直接将 flower[i] 追加到满足条件 A 的最长序列之后，并使该序列的长度 +1。当flower[i] < up 时，说明其不能追加到此序列之后，但能使满足条件 A 的序列的尾值更小，为下一个值留出更大的空间，因此将尾值更新为 flower[i]
  • 当 uplen 为奇数时，说明此时满足条件 A 的最长序列需要在其后追加一个大于其尾值的数据，那么当 flower[i] 大于 up 时，可以直接将 flower[i] 追加到满足条件 A 的最长序列之后，并使该序列的长度 +1。当 flower[i] > up 时，说明其不能追加到此序列之后，但能使满足条件的 A 序列的尾值更大，为下一个值留出更大的空间，因此将尾值更新为 flower[i]
• 同理维护 low 和 lowlen:
  
  • lowlen 为偶数：当 flower[i] > low 时将其追加在序列之后并使序列的长度 + 1。当 flower[i] < low 时用其更新 low 的值
  • lowlen 为奇数：当 flower[i] < low 时将其追加在序列之后并使序列的长度 + 1。当 flower[i] > low 时用其更新 low 的值
• 最后将 lowlen 和 uplen 中较大的值输出

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源代码

#include<iostream>#include<cstdio>using namespace std;int n;int flower[100005];int up,low;int uplen,lowlen;int main(){    freopen("in.txt","r",stdin);    scanf("%d",&n);    for(int i = 1;i <= n;i++)        scanf("%d",&flower[i]);    up = low = flower[1];    uplen = lowlen = 1;    for(int i = 2;i <= n;i++){        if(uplen % 2 == 0){            if(flower[i] < up){                uplen++;                up = flower[i];            }else if(flower[i] > up)                up = flower[i];        }else{            if(flower[i] > up){                uplen++;                up = flower[i];            }else if(flower[i] < up)                up = flower[i];        }        if(lowlen % 2 == 0){            if(flower[i] > low){                lowlen++;                low = flower[i];            }else if(flower[i] < low)                low = flower[i];        }else{            if(flower[i] < low){                lowlen++;                low = flower[i];            }else if(flower[i] > low)                low = flower[i];        }    }    cout << max(uplen,lowlen);    return 0;}